Показательная форма комплексного числа. Логарифм комплексного числа. Возведение комплексного числа в комплексную степень

· Формула Эйлера.

Пусть - некоторое комплексное число. По определению полагают, что

Если число - действительное, то есть , то

Если число - чисто мнимое, то есть , то

Таким образом, имеем равенство

которое называется формулой Эйлера.

· Показательная форма записи комплексного числа.

Рассмотрим произвольное комплексное число, записанное в тригонометрической форме: . По формуле Эйлера

а тогда

Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

·
Натуральным логарифмом комплексного числа r (cosj + i sinj) называется показатель степени, в которую надо возвысить e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм фимволом Log, можно сказать, что равенство

 

Log [ r (cosj + i sinj)] = x + yi

равносильно следующему:

 

ex+yi = r (cosj + i sinj).

Последнее равенство можно написать так:

 

ex(cos y + i sin y) = r (cosj + i sinj),

откуда, сравнивая модули и аргументы, получим:

 

ex = r, y = j + 2kp (k = 0, ±1, ±2,...),

т.е.

 

x = log r и x + yi = log r + (j + 2kp)i

и окончательно

Log[ r (cosj + i sinj)] = log r + (j + 2kp)i,

(22)

т.е. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента.
Мы видим, таким образом, что натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений. Исключение составляет лишь нуль, логарифм которого не существует.

 

Возведение комплексных чисел в комплексную степень базируется на простой формуле a^b=exp(b ln a)
в частности, (i√5)^(i+1)=exp(i√5 ln(i+1)) = exp(i√5 · (ln √2 + i π/4)) =
= exp (-√5 π / 4 + i √ 5 ln √2) = exp(-√5 π/4) (cos (√5 ln √2) + i sin (√5 ln √2))
возведение в степень на множестве комплексных чисел определено неоднозначно, так как значение ln a определено с точностью до слагаемого i 2π

Экспоне́нта — показательная функция , где е — Число Эйлера ().