Тема 3.1. Понятие о погрешностях измерений. Виды погрешностей

Сущность и виды геодезических измерений. Погрешности измерений, их классификация. Предмет и задачи теории погрешностей измерений, ее связь с теорией вероятностей и математической статистикой.

Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в БСЭ, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно РМГ 29-99[1] термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины хд, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с. некоторой оговорённой вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2004 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределённость измерений»[источник не указан 668 дней], однако ГОСТ Р 50.2.038-2004 допускает использовать термин погрешность для документов, использующихся в России.

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

Средняя квадратическая погрешность:

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

Классификация погрешностей

По форме представления

Абсолютная погрешность — является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины. При этом неравенство:, где — истинное значение, а — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.

Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488(13)×10−23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488×10−23±0,000 0013×10−23 Дж/К.

Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины (РМГ 29-99):,.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведённая погрешность — погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле, где — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то определяется равным верхнему пределу измерений;

если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведённая погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

По причине возникновения

Инструментальные / приборные погрешности — погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.

Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.

Субъективные / операторные / личные погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определённой заранее заданной точностью — основной погрешностью, допускаемой в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т. п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20 °C, за нормальное атмосферное давление 101,325 кПа.

Обобщённой характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведённых основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где показатель степени n = 1; 0; −1; −2 и т. д.

По характеру проявления

Случайная погрешность — погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).

Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.

Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора или если произошло замыкание в электрической цепи).

По способу измерения

Погрешность косвенных воспроизводимых измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины

косвенных невоспроизводимых измерений - вычисляется по принципу прямой погрешности, но вместо ставится значение полученное в процессе расчётов.

Погрешность измерения и принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности одновременного определения пары наблюдаемых физических величин, характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Таким образом, в квантовой механике постулируется принципиальная невозможность одновременного определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот факт накладывает серьёзные ограничения на применимость понятия «истинное значение физической величины».

Сущность и виды измерений, ошибки измерений.

Геодезия

Измерение величины (длины линии, горизонтального или вертикального угла, превышения и т.п.), есть процесс сравнения этой величины с другой, однородной ей величиной, принятой за единицу меры. В результате этого процесса находят число, равное отношению измеряемой величины к единице меры, которому приписывают наименование единицы меры и называют результатом измерения.

Существуют понятия: необходимые измерения и избыточные измерения. Например, если одна и та же величина измерена n раз, то одно из измерений является необходимым, а остальные n-1 — избыточными.

Избыточные измерения используют для контроля правильности получаемых результатов измерений. Кроме того, они позволяют определить более надежное значение искомой величины. При достаточном числе избыточных измерений они дают также возможность судить о точности произведенных измерений.

Погрешности измерений

Из практики измерений установлено, что при многократных измерениях одной и той же величины мы не получаем одинаковых результатов, как бы тщательно ни производили измерения.

Факт колебания результатов измерений указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него.

Отклонение результата измерения величины от ее точного значения называют погрешностью измерения. Это определение погрешности измерения можно записать в виде равенства:

∆=l-a

где ∆ — погрешность измерения, l — результат измерения, а — точное значение величины.

Из сказанного следует, что результаты измерений всегда сопровождаются погрешностями. Получить абсолютно точное значение величины, вообще говоря, невозможно.

Любая погрешность результата измерения есть следствие действия многих факторов (причин), каждый из которых порождает свою погрешность. Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Таким образом, погрешность результата измерения является алгебраической суммой элементарных погрешностей. Все дальнейшее изложение относится как к суммарным, так и к элементарным погрешностям.

Погрешности измерений разделяют по двум признакам:

— по характеру их действия;

— по источнику происхождения.

По характеру действия различают погрешности:

— грубые;

— систематические;

— случайные.

Грубыми называют погрешности, превосходящие по абсолютной величине некоторый установленный для данных условий измерений предел. Они происходят в большинстве случаев от невнимательности исполнителя.

Для выявления грубых погрешностей производят избыточные измерения тем же инструментом или иным, но той же точности. Например, для контроля длину линии измеряют лентой дважды, причем иногда первый раз измеряют 20-метровой, а второй — 24-метровой лентой.

Результаты, содержащие грубые погрешности, бракуются и заменяются новыми, поэтому при дальнейшем изложении будем считать, что результаты измерений свободны от грубых погрешностей.

Систематическими погрешностями называют такие, которые при многократных измерениях либо остаются без изменения, либо изменяются по какому-то определенному закону, либо, изменяясь случайным образом, сохраняют знак. В соответствии с этим различают три вида систематических погрешностей:

— постоянные;

— переменные;

— односторонне действующие.

Этим видам соответствуют погрешности, например:

1) в длине линии из-за неточности компарирования ленты;

2) в направлении при угловых измерениях вследствие изменения с течением времени фазы освещенности солнцем визирного цилиндра геодезического знака;

3) в длине линии из-за выхода ленты из створа измеряемой линии.

Переменные систематические погрешности часто являются функциями неслучайного аргумента (функциональные погрешности), но бывают и более сложной природы. Односторонне действующие погрешности представляют собой четные функции случайных величин. Функциональные изучаются средствами элементарной математики и анализа бесконечно малых величин, односторонне действующие — средствами теории вероятностей и математической статистики.

Погрешности, не зависящие от результатов измерений и в последовательности появления которых нет никакой закономерности, но в совокупности подчиняющиеся определенному вероятностному закону, называются случайными.

По источнику происхождения различают погрешности приборов, внешние и личные.

Погрешности приборов обусловлены несовершенством конструкций приборов или неточной их юстировкой, например погрешность в отсчете по горизонтальному кругу теодолита при наведении трубы на предмет, вызванная коллимацией.

Внешние погрешности происходят из-за влияния внешней среды, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за влияния рефракции.

Личные погрешности — те, которые вызываются особенностями наблюдателя. Например, замечено, что при работе с планиметром некоторые наблюдатели преувеличивают отсчет, а другие — преуменьшают.

Некоторые систематические погрешности можно устранить из результатов измерений, применив соответствующие методы измерений. Например, при нивелировании из середины исключается погрешность из-за непараллельности визирной оси и оси цилиндрического уровня. Влияние же некоторых других систематических погрешностей можно значительно ослабить путем введения соответствующих поправок. Меры борьбы с влиянием систематических погрешностей изучаются в специальных дисциплинах, связанных с производством измерений.

При дальнейшем изложении теории погрешностей будем считать, что результаты измерений свободны не только от грубых, но и от систематических погрешностей. Лишь в отдельных случаях будет рассмотрена оценка точности результатов измерений, которые содержат, кроме случайных, и систематические погрешности.