Различают три класса измерений

1. Особо точные – эталонные измерения с максимально возможной точностью. Этот класс почти не применяется в экспериментальных исследованиях.

2. Высокоточные – измерения, погрешность которых не должна превышать заданных значений. Этот класс измерений используют при некоторых наиболее ответственных экспериментах, а также для контрольно-поверочных измерений приборов.

3. Теоретические измерения, в которых погрешность определяется особенностями средств измерения.

Различают абсолютные и относительные измерения.

Погрешность измерения – это алгебраическая разность между действительным значением измеряемой величины и полученным при измерении

Измерение – это такое значение измеряемой величины, которое заведомо точнее, чем получаемое при измерении. С некоторым допущением можно считать истинным или точным значением величины.

Значение иногда называют абсолютной ошибкой измерения.

Относительная ошибка измерения

. (116)

Точность измерения – это точность приближения измерения к действительному значению величины.

Достоверность измерения показывает степень доверия к результатам измерения, т.е. вероятность отклонений измерения от действительных значений.

Чтобы повысить точность и достоверность измерений, необходимо уменьшить погрешности. Погрешности при измерениях возникают вследствие ряда причин: несовершенства методов и средств измерений; недостаточно тщательного проведения опыта; влияния различных внешних факторов в процессе опыта, субъективных особенностей экспериментатора и др. Эти причины являются результатом действия многих факторов.

Погрешности классифицируют на систематические и случайные.

Систематические – это такие погрешности измерений, которые при повторных экспериментах являются постоянными (или изменяются по известному закону). Если численные значения этих погрешностей известны, их можно учесть во время повторных измерений.

Случайными называют погрешности, возникающие чисто случайно при повторном измерении. Эти измерения не могут быть исключены, как систематические. Однако при наличии многократных повторностей с помощью статистических методов можно исключить наиболее отклоняющиеся случайные измерения.

Разновидностью случайных погрешностей являются грубые погрешности или промахи, существенно превышающие систематические или случайные погрешности. Промахи и грубые погрешности вызваны, как правило, ошибками экспериментатора. Их легко обнаружить. В расчет эти погрешности не принимаются и при вычислении их исключают. Таким образом, можно записать

, (117)

где – систематические и случайные погрешности измерений.

В процессе эксперимента трудно отделить систематические погрешности от случайных. Однако при тщательном и многократном эксперименте все же можно исключить систематические погрешности (ошибки). Основная задача измерений заключается в том, чтобы получить по возможности результаты измерений с меньшими погрешностями. Ниже рассмотрены основные принципы и методы устранения систематических и случайных ошибок.

Систематические погрешности можно разделить на пять групп.

1 группа – инструментальные погрешности, возникающие вследствие нарушений средств измерений: дополнительных люфтов или трения, неточности градуированной шкалы, износа и старения узлов и деталей.

2 группа – погрешности, которые возникают из-за неправильной установки средств измерений.

3 группа – погрешности, возникающие в результате действия внешней среды: высоких температур, воздуха, магнитных и электрических полей, атмосферного давления и влажности воздуха, вибрации и колебаний от движущегося транспорта и др.

4 группа – субъективные погрешности, возникают вследствие индивидуальных физиологических, психофизиологических, антропологических свойств человека.

5 группа – погрешности метода, которые появляются в результате необоснованного метода измерений (при различных упрощениях схем или функциональных зависимостей, при отсутствии теоретических обоснований метода измерения, малом количестве повторностей и др.).

Систематические погрешности могут быть постоянными или переменными, увеличивающимися и уменьшающимися в процессе эксперимента. Их обязательно нужно исключать. Известны случаи, когда из-за наличия систематических погрешностей делались неправильные научные выводы из эксперимента. Систематические ошибки (погрешности) могут быть устранены следующими методами.

Часто от систематических погрешностей 1 – 5 групп можно избавиться до начала эксперимента путем регулировки или ремонта средств измерения, тщательной проверки установки средств измерений, устранения нежелательных воздействий, внешней среды. Особое внимание должно быть уделено обоснованию теории и методики измерений. Одним из эффективных методов устранения систематических ошибок 1 –3 групп является исключение их в процессе эксперимента. Основным принципом этого исключения является повторное измерение. При измерении вместо исследуемого объекта устанавливают эталонированный, заранее измеренный с высокой точностью. Разность в измерениях позволит найти погрешность измерительного средства.

Если все же нельзя установить значения систематических погрешностей, то ограничиваются оценкой их границ.

Случайные погрешности. При проведении с одинаковой тщательностью тех или иных экспериментов результаты измерений одной и той же величины (даже с учетом известного закона систематических погрешностей), как правило, отличаются между собой. Как отмечалось выше, это свидетельствует о наличии случайных погрешностей.

Каждый экспериментатор, анализируя результаты измерений, должен уметь правильно оценить неизбежно возникающие случайные погрешности. К случайным ошибкам относятся также, как уже известно, промахи и грубые погрешности.

Наиболее типичными причинами промахов являются ошибки при наблюдениях: неправильный отсчет по шкале измерительных приборов, описки (ошибки) при записи результатов измерений, различные манипуляции с приборами или их отдельными узлами (перестановка, замена блоков, проверка и др.). Грубые погрешности возникают вследствие неисправности приборов, а также внезапно изменившихся условий эксперимента.

Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок. Эта теория дает возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение и оценить возможные ошибки, по которым судят о действительном значении искомой величины.

В основе теории случайных ошибок лежат предположения о том, что при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто, что большие погрешности встречаются реже, чем малые, или вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины; что при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений; что появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения, если число измерения больше 30, или распределением Стьюдента, если количество измерений
меньше 30.

Различают генеральную и выборочную совокупность измерений. Под генеральной совокупностью измерений подразумевают все множество возможных значений измерений или возможных значений погрешностей . Для выборочной совокупности измерений величина ограничена, и в каждом конкретном случае строго определяется. Обычно считают, что если > 30, то среднее значение данной совокупности измерений достаточно приближается к его истинному значению.

Теория случайных ошибок позволяет решить две задачи: оценить точность и надежность измерения при данном количестве замеров, определить минимальное количество замеров, гарантирующее требуемую (заданную) точность и надежность измерения.

Рассмотрим первую задачу при большом количестве измерений, > 30. Разброс показателей (однородность) измерения характеризуется величиной дисперсии и показателем вариации (изменчивости) :

; . (118)

Чем больше и , тем больше разброс показателей измерений. Зная величины и , можно определить доверительный интервал и доверительную вероятность (надежность) измерения.

Доверительным интервалом называется интервал значений , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью. Доверительной вероятностью (надежностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Эта величина определяется в долях единицы или в процентах.

Обычно доверительный интервал определяют по формуле:

, (119)

где – гарантийный коэффициент ).

Доверительная вероятность, гарантийный коэффициент и значение связаны соотношением

(120)

Функцию называют интервалом вероятностей или интервалом Лапласа. Численные значения интервала вероятности приведены в литературе.

Величину называют уровнем значимости. Из нее следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз из измерений:

(121)

Или иначе приходится браковать одно из измерений.

Зная величины , можно дать характеристику качества измерения.

Пример. Допустим, испытано 53 образца породы. Определено, что средняя прочность при сжатии Па.

Задаваясь величиной , можно определить доверительный интервал и доверительную вероятность измерения по таблице. Так, при Па, т.е. Па. Из таблицы определим доверительную вероятность Значит, из 1000 измерений 683 попадает в данный доверительный интервал, а 317 результатов выходят за его пределы.

При Па, т.е. Па.

По таблице , следовательно, из 1000 измерений 993 попадают в данный доверительный интервал и только 3 измерения выходят за его пределы.

При выполнении измерений необходимо знать их точность , которую обычно характеризуют величиной – среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения :

 

; . (122)

 

Величину часто называют средней ошибкой. Доверительный интервал ошибки точности измерения определяется аналогично, как и для величины измерений: . По величине легко определить доверительную вероятность (надежность) точности (ошибки) измерения из таблицы.

В исследованиях часто по заданной точности и доверительной вероятности (надежности) измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые величины и . Для этой цели в большинстве случаев используют приближенную зависимость:

 

. (123)

 

В относительных величинах (123) принимает вид

 

. (124)

 

Здесь – коэффициент вариации (изменчивости), %;

– точность измерений, %.

Для вычисления может быть принята следующая последовательность.

1. Проводят предварительный эксперимент с количеством измерений , которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50.

2. Вычисляют среднеквадратичное отклонение (118).

3. В соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливают требуемую точность измерений, которая должна быть не менее точности прибора.

4. Устанавливают нормированное отклонение , величину которого обычно задают; она зависит также от точности метода. Например, при большой точности измерений и трудоемком эксперименте можно принять при малой – Так, измеряя влажность грунта и материалов, можно принять плотность, прочность, размеры тел –

В дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше .

Оценки измерений с помощью величины и по приведенным методам справедливы при больших > 30.

Для нахождения границ доверительного интервала при малых значениях применяют метод, предложенный в 1908 г английским математиком В.С. Госсетом (псевдоним Стьюдент).

Уравнение распределения Стьюдента имеет вид

 

, (125)

 

где – гамма-функция.

Как видно из рис. 28 кривые распределения Стьюдента при (практически при > 20) переходят в кривые нормального распределения.

Для малой выборки доверительный интервал

, (126)

здесь – коэффициент Стьюдента, принимаемый по таблице в зависимости от значения доверительной вероятности .

Зная можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки:

 

. (127)

Возможна иная постановка задачи. По известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы .

Задачу решают в такой последовательности. Вычисляют среднее значение и . По величине , известному и таблице определяют доверительную вероятность.