Решение основного дифференциального уравнения движения вязкой жидкости в случае установившегося движения поле сил тяжести

В случае установившегося движения производные скорости во времени равны нулю, т.е.

С учетом приведенных выше допущений, суммируя, правые и левые части уравнения (2.4.23) окончательно уравнение (2.4.34)

примет вид:

(4.34)

Решив уравнение (4.34)

с учетом, что и в поле сил тяжести имеем:

(4.35)

Принимая сумму «операторов Лапласа» (4.23) как потери связанные с потерями энергии ввиду вязкости жидкости при прохождении от сечения 1-2 () можно записать для потока вязкой жидкости и различных сечений:

,

(4.36)

где α-коэффициент Кориолиса в соответствующем сечении

В общем приближении можно записать

(4.37)

В результате уравнение 4.36 примет вид:

(4.36.а)

Где потери энергии потока жидкости от сечения-1 до сечения -2

Или уравнение (2.36 а) в «напорах»:

(4.36.б)

 

Основные понятия о гидродинамическом подобии и методе анализа размерности.

Математическое моделирование. При исследовании гидравлических процессов с помощью математического моделирования изучаются явления, отличные от натурных (физических), но описываемые теми же математическими уравнениями. Совокупность уравнений, описывающих определённый физический процесс, называют математической моделью, а изучение его поведения в тех или иных условиях путём решения уравнений - математическим моделированием. В отличие от физического применение математического моделирования при соответствующей математической модели не ограничено.

Математическая модель гидравлического явления или процесса обычно создаётся на основании применения к ним наиболее общих законов механики, таких, как сохранение движения, массы и энергии. Записывая эти законы в виде систем дифференциальных уравнений и аналитически их исследуя, то есть используя методы классической механики, можно получить информацию о процессах или явлениях, которые не наблюдались в ограниченном диапазоне изменения исследуемых величин.

Применяя общие теоремы механики или термодинамики к частным случаям потока жидкости в конкретных условиях, получают математические модели гидравлических процессов, как правило, в виде сложных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Аналитические методы интегрирования и исследования таких уравнений, традиционные для классической механики и гидравлики, в настоящее время всё чаще вытесняются методами численного расчёта подобных систем с использованием ЭВМ.

Другой путь состоит в том, что аналитические приёмы интегрирования и исследования систем дифференциальных уравнений используются в сочетании с эмпирическими приёмами. В этом случае зависимости, выведенные из фундаментальных законов механики, применяются при аналитическом исследовании совместно с зависимостями, установленными экспериментальным путём, обычно на основе осреднения данных натуральных изменений. Классическими примерами являются полуэмпирические теории турбулентности и теории пограничного слоя.

Численный, или вычислительный, эксперимент - это современный метод теоретических исследований. опирающихся на “экспериментирование” с математической моделью, только роль лабораторной установки выполняет ЭВМ, ведущая вычисления по заданной программе.

В настоящее время широко е развитие получили численные методы, ориентированные на использование современных быстродействующих ЭВМ. Среди них можно выделить 2 альтернативных метода метод конечного элемента (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР). Применение этих методов заставило обратить внимание на целый ряд новых аспектов при исследовании гидравлических процессов. Особенно важным достижением в этой области следует считать исследования, связанные с изучением граничных условий при различных типах движения жидкости.

Следует считать, что все последующие, значительные, достижения в гидравлике должны базироваться на рациональном использовании в одном исследовании всех 3 методов: аналитического, эмпирического и вычислительного.

примерами математического моделирования являются: исследование движения грунтовых вод методом гидродинамических аналогий (ЭГДА), исследования и расчёты турбулентных свободных пограничных слоёв, струй и следов, стратифицированных течений, неустановившихся течений в руслах и сооружениях, переходных процессов в ирригационных каналах, русловых процессов в зоне мостовых переходов и т. п.

Детально вопросы математического моделирования с анализом расчётных схем, алгоритмов и программ расчётов проводятся в специальной литературе.

Достоверность численных расчётов математического моделирования была подтверждена уникальными натурными исследованиями в широком диапазоне.

Физическое моделирование. При таком моделировании изучаемые гидравлические процессы воспроизводятся на модели, отличающейся в масштабе от натуры, на основе общих законов подобия механических систем. Явления (процессы) будут механически подобны в том случае, если в них одинаково отношение всех геометрических элементов - размеров, расстояний, перемещений, одинаково отношение плотностей и сил, действующих в соответственных точках и направлениях. Моделью в этом случае называется уменьшенное гидротехническое сооружение или гидравлическая машина вместе с омывающим её потоком жидкости.

Для полного гидродинамического подобия потоков необходимо их геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.

Геометрическое подобие. Два потока будут геометрически подобными, если между их соответствующими линейными размерами существует постоянное соотношение

lH /l M = a = const (4.38)

где а - линейный масштаб, показывающий во сколько раз размеры модели lM уменьшены, по сравнению с размерами натуры lH.

Геометрическое подобие предусматривает также постоянными соотношения площадей

, (4.39)

а также подобие объемов

(4.40)

Два потока будут подобны (кинематически) при подобии полей скоростей и ускорений натуры и модели, которое выполняется если скорости VH и V M и ускорения J M и J H в сходственных точках натуры и модели находятся в одинаковых соотношениях, то есть существуют масштабы скоростей a v и ускорений а j:

(4.41)

(4.42)

При этом аV = const и a j = const. Кинематическое подобие обязательно включает в себя геометрическое подобие.

Динамическое подобие. Для динамического подобия необходимо, чтобы все силы, действующие в подобных точках модели и натуры на частицы жидкости, отличались между собой только постоянными масштабами при равенстве углов, характеризующих направление этих сил.

Другими словами. явления динамически подобны, если физическая природа действующих на жидкость сил одинакова и векторы этих сил образуют геометрически подобные силовые многоугольники. На любую частицу жидкости в общем случае действуют следующие силы - сила тяжести, сила давления, сила трения.

Равнодействующая этих сил F, согласно второму закону И. Ньютона, равна произведению массы и ускорения пропорциональная плотности жидкости, ускорению свободного падения g и объёму W (или кубу линейного размера частицы l³)

, (4.43)

Где

(4.44)

(4.45)

 

(4.46)

(4.47)

Из условия подобия отношения всех пар сходственных сил натуры и модели равны:

(4.48)

где aF - масштаб сил, то есть число, показывающее во сколько раз силы в натуре (с индексом «н») больше соответствующих сил в модели (с индексом «м»).

Величины а, аv, аF называются масштабными множителями. Выбор всех масштабных множителей для подобных потоков не произволен, так как между ними существует определённая взаимосвязь.

Для нахождения гидродинамических критериев подобия используем дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости (4.23) и уравнения неразрывности (4.15)

(4.15)

(4.23)

Запишем указанные уравнения в безразмерном виде, введя следующие безразмерные величины:

Приведенные относительные величины представляют собой – проекции линейного перемещения частицы жидкости, скорости, величины гидродинамического давления, проекций массовых сил. Допуская что плотность, вязкость и температура постоянны уравнение неразрывности и движения вязкой жидкости можно записать в виде:

(4.49)

Для данной системы уравнений масштаб скоростей и длин отличны от нуля и бесконечности. Учитывая это уравнение неразрывности достигается тожественно. Его можно исключить из рассматриваемой системы уравнений.

Для записи уравнений в безразмерном виде разделим на соотношение .

(4.50)

В приведенном уравнении все составляющие безразмерны. Для подобных процессов безразмерные уравнения одинаковы следовательно безразмерные комплексы, также одинаковы:

Безразмерные комплексы явдяются критериями динамического подобия:

 

критерий Фруда

критерий Эйлера

критерий Рейнольдса

критерий Струхаля или гомохромности

 

Таким образом, из анализа дифференциальных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости получаются четыре безразмерных критерия. Используя критерии составляются критериальные уравнения, позволяющие описывать моделируемые процессы.

(4.51)

Гидродинамическое (гидравлическое) подобие потоков обеспечивается равенством критериев Ньютона модели и натуры

(4.52)

Методы подобия и размерностей тесно связаны между собой, так как оба требуют отчётливого представления о механизме рассматриваемого явления. Однако для применения теории подобия нужны уравнения, определяющие процесс, а метод анализа размерностей применяется, когда уравнения процесса неизвестны. С помощью этого метода обрабатываются данные опытов и делают последующие обобщения.

Начало общей теории этого метода было впервые положено в 1911 г. русским учёным Г. А. Федерманом (Известия Петербургского института, т. ХУ1, вып.1), доказавшим фундаментальную теорему подобия - Пи - теорему: всякое уравнение, выражающее некоторую физическую закономерность и поэтому не зависящее от выбора систем единиц измерения, связывающее собой N физических величин, среди которых величины обладают независимыми размерностями, может быть преобразовано в уравнение, связывающее (N- n) независимых безразмерных комплексов, составленных из упомянутых N физических величин.

Суть этой теоремы заключается в следующем.

Пусть W является функцией N размерных величин:

(4.53)

Можно доказать, что эту зависимость можно заменить критериальным уравнением

П = f (1,1,.... 1, п1, п2.....пN-n), (4.54)

где роль размерных величин играют (N - n) безразмерных величин. Если основная система состоит из 3 единиц (масса, длина, время), то n=3 и вместо N величин рассматриваемое явление представляется в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин.

Таким образом, восстановленное путём логических рассуждений уравнении, характеризующем данное явление, размерности величин в правых и левых частях, выраженные через размерности основных физических величин (масса М, длина l, время Т) должны соответствовать друг другу.