Некоторые правила действий над приближенными числами

Поскольку любой результат измерения является приближенным числом, то всегда важно знать на какую величину оно отличается от действительного. Чем ближе результат измерения к действительному, тем выше точность, и наоборот.

Для оценки погрешности приближенных чисел используют предельную погрешность ∆_пр. Под предельной абсолютной погрешностью понимают всякое положительное число, не превышающее половины единицы последнего знака. Так, наибольшее значение абсолютной погрешности округления составляет 0,5 единицы последнего знака округленного числа.

В результатах измерений в качестве предельной абсолютной погрешности можно принимать точность отсчетной шкалы прибора, если не выполнялись специальные исследования по ее определению. В геодезических измерениях абсолютную погрешность широко применяют при оценке точности угловых измерений.

Для характеристики точности линейных измерений применяют, в основном, относительную погрешность ε = │∆/ l │, где -Δ погрешность измерения, а l- результат измерения. При этом относительную погрешность выражают аликвотной дробью (дробь, у которой числитель всегда единица)

ε = 1/(l /∆).

Чем меньше относительная погрешность, тем с большей точностью получен результат. В других дисциплинах относительную погрешность записывают в процентах или промилях.

Поскольку все результаты измерений являются приближенными числами, то и все последующие арифметические действия с ними должны выполняться как с приближенными числами. В этом случае в основе анализа лежит понятие - количество верных значащих цифр.

Значащую цифру называют верной, если модуль погрешности её не превышает половины единицы разряда этой цифры. Например, при определении цены деления планиметра получили с=0,09567883. Как правильно записать окончательный результат? Здесь необходимо руководствоваться правилом: ответ должен содержать столько значащих цифр, сколько их содержится в отсчетах по измерительной каретке, т. е. четыре значащих цифры. С учетом того, что нули, служащие только для обозначения десятичных разрядов, не являются значащими цифрами, правильная запись ответа будет с=0,09568 или 9,568*10^-2.

Приведем некоторые правила арифметических действий с приближенными числами.

При нахождении алгебраической суммы, когда слагаемые имеют разное количество десятичных знаков, необходимо придерживаться следующего порядка действий:

· выбрать компонент (слагаемое, уменьшаемое или вычитаемое) с наименьшим количеством десятичных знаков;

· все остальные компоненты округлить, оставив в них на один десятичный знак больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим количеством десятичных знаков;

· выполнить арифметические операции (сложение и вычитание);

· полученный результат округлить, оставив в нем столько десятичных знаков, сколько их имеется в компоненте с наименьшим количеством десятичных знаков.

Пример. Определить длину линии, которая была разбита на отдельные отрезки, каждый из которых был измерен прибором со своей точностью. Так

d ₁ = 10,4 м, d₂ =0,485 м, d₃ =104 м. Искомая длина линии равна d =115 м.

При умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня необходимо следовать следующим правилам:

· осмотреть все числа, входящие в данное выражение, и выбрать компонент с наименьшим количеством значащих цифр;

· все остальные компоненты округлить, оставив в них на одну значащую цифру больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим количеством значащих цифр;

· произвести требуемые вычисления;

· полученный результат округлить до стольких значащих цифр, сколько их имеется в грубейшем компоненте.

Пример. Для определения массы стеновой панели были измерены ее длина а = 6003 мм.; ширина b = 2997 мм.; высота h = 302 мм. и плотность бетона q = 1,5 т/м³. Тогда Р = а b h q = 8.1499188т. Как правильно записать результат вычисления? Так как наименьшее число значащих цифр содержится в компоненте плотности бетона (две цифры), то ответ будет содержать также только две значащие цифры, то есть Р = 8.1 т.

Правило округления. В приближенных вычислениях в результате оставляют только значащие цифры. Если отбрасываемая цифра является 5, то последняя оставшаяся цифра должна быть четной. Например, требуется округлить до метров два результата измерения s ₁ = 34,5 м и s ₂=33,5 м. Получим s ₁= 34 м и s ₂ =34м.