Теорема о промежуточном значении для производной

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .

Доказательство Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных отрезков функция принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда и в силу непрерывности функции

Поскольку

получим, что

Следствия

§ (Теорема о нуле непрерывной функции.)

Словами. Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю.
Словами и формулами. Пусть и Тогда такое, что

§ В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;