Неравенство треугольника, абсолютное значение действительных чисел

Если а, в € R, то |a+в|≤|а|+|в|

1. а, в ≥0» а+в≥0

|a+в|=а+в=|а|+|в|

2. а, в≤0» а+в≤0

|a+в|=-(а+в)=-а+(-в)= |а|+|в|

 

3. а≤0, в≥0» а+в= -|а|+|в|

|a+в|=|-|а|+|в|| ≤ |а|+|в|

4. а≥0, в≤0

|a+в|=|а|-|в|

|a+в|=||а|-|в||≤ |а|+|в|

Следствие: если а, в € R, тогда |а|-|в|≥||а|-|в||

|а|+|в|≥||а|-|в||

Абсолютное значение или модуль действительного числа a (обозначается как |a|) определяется как

Пример
|5|=5 Так как 5>0
|-4/7|= -(-4/7) = 4/7 Так как -4/7<0
|0|=0 Так как 0≥0

Замечание
|a| есть не отрицательным числом для всех значений a и
-|a|≤ a ≤ |a|

Ограниченное сверху множество. Супремум множества.

1) Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наименьший элемент , который равен или больше всех элементов множества . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .

Более формально: — множество верхних граней , то есть элементов , равных или больших всех элементов

Либо

2) Пусть X – линейно упорядоченное множество с отношением >= и Y ⊆ X.

Элемент m ∈ X называется верхней границей множества Y, если m > y для любого y ∈ Y. Элемент m ∈ X называется точной верхней гранью множества Y, если он является верхней границей этого множества и для любой другой верхней границы m0 выполнено неравенство m0> m. Точная верхняя грань обозначается supY или sup y∈Yy и по другому называется супремумом множества Y.