Непрерывность непостоянной монотонной функции на отрезкахНепрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств. Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Изображенная на рисунке 123 функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], принимает свое наибольшее значение М в точке х1, а наименьшее m — в точке х2. Для любого хє[а;b] имеет место неравенство m≤ƒ(х)≤М. Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a)=А и ƒ(b)=В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124). Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри этого отрезка такая, что ƒ(с)=С. Прямая у=С пересечет график функции по крайней мере в одной точке. Следствие 19.2. Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция ƒ(х) обращается в нуль: ƒ(с)=0. Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125). Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения ƒ(х)=0.
Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а;b], а в интервале (a;b), либо функция на отрезке [a;b] имеет разрыв.
|