Предел последовательности и функции.Теоремы о пределах.Замечательные пределы

Примеры[править | править вики-текст]

· Функция, возвращающая константу, имеет предел в любой точке, в которой определена. Он равен этой константе.

· Тождественная функция в любой точке, в которой определена, имеет предел равный этой точке.

· Функция Дирихле не имеет предела ни в какой точке числовой прямой.

· Функция имеет предел на бесконечности, равный нулю.

· Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x), то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B - A = - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B - A =0, т.е. B = A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где - б.м. при .

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С) = ,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С = .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

· Первый замечательный предел:

· Второй замечательный предел:

25.Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению еёаргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной —интегрирование.

Геометрический и физический смысл производной[править | править вики-текст]

Тангенс угла наклона касательной прямой [править | править вики-текст]

Геометрический смысл производной. Награфике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции [править | править вики-текст]

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скоростьдвижения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

Таблица производных[править | править вики-текст]

Производные степенных функций	Производные тригонометрических функций	Производные обратных тригонометрических функций

 

Производная суммы

1. Пусть — две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, если они существуют, т. е.

Эта формула справедлива для любого конечного числа слагаемых:

Производная частного

4. Если функции имеют в точке х производные и если то в этой точке существует производная их частного которая вычисляется по формуле

5. Частные случаи: