Метод максимального правдоподобия (ММП)

Одним из универсальных методов оценивания параметров распределения является метод максимального правдоподобия. Оценку параметра q, получаемого с помощью этого метода, будем обозначать , а оценку параметрической функции .

Пусть задана выборка =(X₁,...,X_n) из распределения L (x)ÎF={F(x;q);qÎQ}, и L (;q) функция правдоподобия для реализации =(x₁,...,x_n) выборки .

По определению оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) параметра q называется такая точка параметрического множества Q, в которой функция правдоподобия L (;q) при заданном достигает максимума. Таким образом

L (; )³ L (;q), "q или

L (; )= L (;q).

Замечание.

Если L (;q₁)> L (;q₂), то говорят, что значение параметра q₁ более правдоподобно, чем q₂. Таким образам, оценка максимального правдоподобия является наиболее правдоподобным значением параметра q.

Если для каждого из выборочного пространства максимум L (;q) достигается во внутренней точке Q и L (;q) дифференцируема по q, то о.м.п. удовлетворяет уравнению

или .

Если q векторный параметр: =(q₁,...,q_r), то это уравнение заменяется системой уравнений

, i=1,...,r.

Последние уравнения называются уравнениями правдоподобия.