МЕЖДУ ПОПУЛЯЦИЯМИ

 

Первым на этом пути заявил о себе математик Вольтерра в 1931-ом году. Он предложил модель взаимодействия между двумя популяциями. Чтобы наглядно раскрыть этот вопрос, Вольтерра рассматривал только две популяции, при этом одну популяцию он назвал хищниками, а другую – жертвами. И назвал он свою модель “хищник – жертва”.

 

– это численность жертв

– численность хищников

 

Рассмотрим два возможных предельных случая этой модели:

 

Первый случай: (нет хищников), , , т. е. численность жертв растёт по экспоненциальному закону.

 

Второй случай: (нет жертв), , , т. е. хищники вынуждены охотиться друг на друга, из-за чего численность хищников убывает по экспоненциальному же закону. Чем больше нужно хищников, тем больше им нужно мяса.

 

 

24.03.2012 Лекция

 

Графики роста численности обеих популяций при отсутствии взаимодействия между хищниками и жертвами будут выглядеть так:

 

 

Фазовая диаграмма будет выглядеть так:

 

 

Наконец, опишем случай, когда численность жертв и численность хищников не нулевая, и эти две популяции взаимодействуют: , . Тогда численность хищников будет сильно влиять на численность жертв. Между жертвами и хищниками возникнет конкуренция. Изменение численности популяции жертв будет описываться следующим дифференциальным уравнением:

 

 

где – это общее число всех возможных встреч волка и зайца, при том, что не каждая такая встреча заканчивается поимкой зайца, – усреднённый коэффициент печального исхода встречи жертв с хищниками.

 

 

Коэффициент усреднённой парной борьбы между волком и зайцем является разным для жертвы и хищника. Если хищник повредит жертву, то для зайца такая встреча в последствии может стать фатальной, а для хищника – её как будто и не было. Другими словами, исход парной борьбы для хищника и жертвы может быть разным. Поэтому коэффициент парной борьбы для хищника будет не , а . Тогда изменение численности популяции хищников будет описываться таким диф. уравнением

 

 

Получаем систему однородных нелинейных дифференциальных уравнений:

 

 

Т. к. эти диф. уравнения не являются линейными, аналитическое решение этой системы найти нельзя. Решать его придётся численными методами. Но перед тем как находить частные численные решения, необходимо попытаться исследовать эту систему и выявить некоторые общие свойства данной модели и общие свойства ожидаемых результатов. Это позволит в дальнейшем проверить, удовлетворяет ли полученное решение некоторым условиям, и отбросить таким образом грубые результаты.

 

Не забываем о том, что наша модель имеет следующее ограничение: , , т. е. начальное число жертв и начальное число хищников много-много больше единицы.

 

При анализе общих свойств систем дифференциальных уравнений особую роль играет так называемые особые точки. Особые точки – это точки, в которых динамика изменения популяций равна нулю, т. е. постоянна во времени. Таким образом, эти особые точки показывают стационарное решение (как особое решение) системы дифференциальных уравнений, которое характеризуется тем, что скорость моделируемых процессов, скорость изменения этих процессов равна нулю (численности популяций будут постоянными, будут сохраняться во времени: ).

 

Тогда мы получим системы двух алгебраических уравнений:

 

 

Чтобы найти решение этой системы, найдём точки, в которых оба уравнения равны нулю.

 

Первое возможное решение этого уравнения – когда и .

– особая точка. Точка типа “седло”.

Это тот случай, когда жертв и хищников нет.

 

Второй возможное решение – это когда и , т. е. и .

– особая точка. Точка типа “центр”.

Это тот случай, когда численности обеих популяций находятся в состоянии динамического равновесия: количество поедаемых зайцев компенсируется их ускоренным размножением. И волки сыты, и овцы целы, правда платят за это овцы.

 

Итак, мы выявили, что данная система уранвений имеет две особые точки.

Графически эти две точки изобрааются так: