Классификация математических моделей

 

Математическая модель является упрощением реальной ситуации и представляет собой абстрактный, формально описанный объект, изучение которого возможно различными математическими методами [5].

Рассмотрим классификацию математических моделей.

Математические модели делятся:

1. В зависимости от характера отображаемых свойств объекта:

· функциональные;

· структурные.

Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.

Таким образом, функциональные модели - отображают процессы функционирования объекта. Они имеют чаще всего форму системы уравнений.

Структурныемодели - могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве. Эти модели обычно используют в случаях, когда задачи структурного синтеза удается ставить и решать, абстрагируясь от физических процессов в объекте. Они отражают структурные свойства проектируемого объекта.

Для получения статического представления моделируемого объекта может быть использована группа методов, называемых схематическими моделями - это методы анализа, включающие графическое представление работы системы. Например, технологические карты, диаграммы, многофункциональные диаграммы операций и блок-схемы.

2. По способам получения функциональных математических моделей:

· теоретические;

· формальные;

· эмпирические.

Теоретические получают на основе изучения физических закономерностей. Структура уравнений и параметры моделей имеют определенное физическое толкование.

Формальные получают на основе проявления свойств моделируемого объекта во внешней среде, т.е. рассмотрение объекта как кибернетического «черного ящика».

Теоретический подход позволяет получать модели более универсальные, справедливые для более широких диапазонов изменения внешних параметров.

Формальные - более точны в точке пространства параметров, в которой производились измерения.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

3. В зависимости от линейности и нелинейности уравнений:

· линейные;

· нелинейные.

4. В зависимости от множества области определения и значений переменных модели бывают:

· непрерывные (области определения и значений непрерывны);

· дискретные (области определения и значений непрерывны);

· непрерывно-дискретные (область определения непрерывна, а область значений дискретна). Эти модели иногда называют квантованными;

· дискретно-непрерывные (область определения дискретна, а область значений непрерывна). Эти модели называют дискретными;

· цифровые (области определения и значений дискретны)

5. По форме связей между выходными, внутренними и внешними параметрами:

· алгоритмические;

· аналитические;

· численные.

Алгоритмическими называют модели, представленных в виде алгоритмов, описывающих последовательность однозначно интерпретируемых операций, выполняемых для получения необходимого результата.

Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

Аналитическими математическими моделями называется такое формализованное описание объекта (явления, процесса), которое представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от входных и внутренних параметров.

Аналитическое моделирование основано на косвенном описании моделируемого объекта с помощью набора математических формул. Язык аналитического описания содержит следующие основные группы семантических элементов: критерий (критерии), неизвестные, данные, математические операции, ограничения. Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заключается в том, что модель не является структурно подобной объекту моделирования. Под структурным подобием здесь понимается однозначное соответствие элементов и связей модели элементам и связям моделируемого объекта. К аналитическим относятся модели, построенные на основе аппарата математического программирования, корреляционного, регрессионного анализа. Аналитическая модель всегда представляет собой конструкцию, которую можно проанализировать и решить математическими средствами. Так, если используется аппарат математического программирования, то модель состоит в основе своей из целевой функции и системы ограничений на переменные. Целевая функция, как правило, выражает ту характеристику объекта (системы), которую требуется вычислить или оптимизировать. В частности, это может быть производительность технологической системы. Переменные выражают технические характеристики объекта (системы), в том числе варьируемые, ограничения – их допустимые предельные значения.

Аналитические модели являются эффективным инструментом для решения задач оптимизации процессов, протекающих в технологических системах, а также оптимизации и вычисления характеристик самих технологических систем.

Важным моментом является размерность конкретной аналитической модели. Часто для реальных технологических систем (автоматических линий, гибких производственных систем) размерность их аналитических моделей столь велика, что получение оптимального решения оказывается весьма сложным с вычислительной точки зрения. Для повышения вычислительной эффективности в этом случае используют различные приемы. Один из них связан с разбиением задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности так, чтобы автономные решения подзадач в определенной последовательности давали решение основной задачи. При этом возникают проблемы организации взаимодействия подзадач, которые не всегда оказываются простыми. Другой прием предполагает уменьшение точности вычислений, за счет чего удается сократить время решения задачи.

Аналитическая модель может быть исследована следующим методами:

· аналитическим, когда стремятся получить в общем виде зависимости для искомых характеристик;

· численными, когда стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

· качественными, когда, имея решения в явном виде можно найти некоторые свойства решения (оценить устойчивость решения).

Однако аналитическое моделирование дает хорошие результаты в случае достаточно простых систем. В случае сложных систем требуется либо существенное упрощение первоначальной модели, чтобы изучить хотя бы общие свойства системы. Это позволяет получить ориентировочные результаты, а для определения более точных оценок использовать другие методы, например, имитационное моделирование.

Численная модель характеризуется зависимостью такого вида, которая допускает только решения, получаемые численными методами, для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.

6. В зависимости от того, учитывают уравнения модели инерционность процессов в объекте или не учитывают:

· динамические или инерционные модели (записываются в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений или систем уравнений);

· статические или неинерционные модели (записываютсяв виде алгебраических уравнений или систем алгебраических уравнений).

7. В зависимости от наличия или отсутствия неопределенностей и вида неопределенностей модели бывают:

· детерминированны е (неопределенности отсутствуют);

· стохастические (присутствуют неопределенности в виде случайных величин или процессов, описываемых статистическими методами в виде законов или функционалов распределений, а также числовыми характеристиками);

· нечеткие (для описания неопределенностей используется аппарат теории нечетких множеств);

· комбинированные (присутствуют неопределенности обоих видов).

В общем случае вид математической модели зависит не только от природы реального объекта, но и от тех задач, ради решения которых она создается, и требуемой точности их решения

Основные виды моделей представленные на рисунке 2.5.

Рассмотрим еще одну классификацию математических моделей. Эта классификация основана на понятии управляемости объекта управления. Все ММ разобьем условно на четыре группы. 1.Модели прогноза (расчетные модели без управления). Их можно разделить на статические и динамические. Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими.Как правило, модели прогнозирования описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики, аэродинамики и т.д. 2.Оптимизационные модели. Эти модели так же можно разделить на статические и динамические. Статические модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами – технологическими, экономическими и др.В задачах оптимизации имеется два направления. К первому относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью определяемой.Второе направление относится к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач. В математическом программировании выделяются следующие основные разделы. · Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. · Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения. · Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача. · Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные. · Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными. · Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Рис. 4.8. Классификация математических моделей

Как правило, к задачам математического программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами. Различают три вида математических моделей теории оптимального управления. · Дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования, так как основной метод решения таких задач метод динамического программирования Беллмана. · Непрерывные модели оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами (описываются уравнениями в обыкновенных производных). · Непрерывные модели оптимального управления системами с распределенными параметрами (описываются уравнениями в частных производных). 3. Кибернетические модели (игровые). Кибернетические модели используются для анализа конфликтных ситуаций. Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами. 4. Имитационное моделирование. Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализованы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего «биологического» звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.