Исследование формы распределения элементов совокупности

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и исследование формы распределения, т.е. оценку симметричности и эксцесса.

Из математической статистики известно, что при увеличении объема статистической совокупности (N → ) и одновременного уменьшении интервала группировки (х_i → 0) полигон либо гистограмма распределения все более и более приближается к некоторой плавной кривой, являющейся для указанных графиков пределом. Эта кривая называется эмпирической кривой распределения и представляет собой графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанного с изменением вариант.

В статистике различают следующие виды кривых распределения:

- одновершинные кривые;

- многовершинные кривые.

Однородные совокупности описываются одновершинными распределениями. Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности или о некачественном выполнении группировки.

Одновершинные кривые распределения делятся на симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные.

Распределение называется симметричным, если частоты любых 2-х вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В таких распределениях x = Mo = Me.

Для характеристики асимметрии используют коэффициенты асимметрии.

Наиболее часто используются следующие из них:

• Коэффициент асимметрии Пирсона (5.17)

В одновершинных распределениях величина этого показателя изменяется от -1 до +1, в симметричных распределениях As=0.

При As>0 наблюдается правосторонняя асимметрия. В распределениях с правосторонней асимметрией Mo ≤ Me ≤ x.

При As<0 – асимметрия отрицательная левосторонняя, Mo>Me> x.

Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее:

- если |As|<0,25, то асимметрия считается незначительной;

- если 0.5 <|As|<0.25 то асимметрия считается умеренной;

- если |As|>0,5 – асимметрия значительна.

Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только в центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента 3-его порядка:

(5.18)

- центральный момент третьего порядка;

- среднее квадратическое отклонение в третьей степени.

Центральным моментом в статистике называется среднее отклонение индивидуальных значений признака от его среднеарифметической величины.

Центральный момент k-ого порядка рассчитывается как:

- для несгруппированных данных (5.19)

 

- для сгруппированных данных (5.20)

Соответственно формулы для определения центрального момента третьего порядка имеют следующий вид:

- для несгруппированных данных (5.21)

 

- для сгруппированных данных (5.22)

Для оценки существенности рассчитанного вторым способом коэффициента асимметрии определяется его средняя квадратическая ошибка:

(5.23)

Если асимметрия является существенной.

Для одновершинных распределений рассчитывается еще один показатель оценки его формы – эксцесс. Эксцесс является показателем островершинности распределения. Он рассчитывается для симметричных распределений на основе центрального момента 4-ого порядка

где - центральный момент 4-го порядка.

- для несгруппированных данных (5.24)

- для сгруппированных данных (5.25)

При симметричных распределениях Ех=0, если Ех>0, то распределение относится к островершинным, если Ех<0 – к плосковершинным.

Рассчитаем показатели асимметрии и эксцесса для ряда распределения рабочих по стажу работы. Ранее для данного ряда были получены следующие характеристики: x = 12 лет, Мо=12,9 лет, =6,3 года.

Коэффициент асимметрии Пирсона получается равным:

, что говорит о наличии незначительной левосторонней асимметрии в центральной части распределения.

Коэффициент асимметрии, рассчитанный через центральный момент 3-его порядка:

Это означает, что в целом по всему ряду наблюдается правосторонняя асимметрия.

Расчет центрального момента 3- его порядка приведен во вспомогательной таблице 5.2.

 

Таблица 5.2 - Расчет центральных моментов 3- его и 4-ого порядка

 

№	xi	ni
			-10	-1000	-6000
			-6	-261	-1728
			-2	-8	-88
Итого			-	-		-

 

Показатель эксцесса:

, что свидетельствует о том, что распределение плосковершинное.