Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЛЕКЦИЯ №3. Как показал Максвелл ещё в 1873 году, число уравнений для расчёта токов и напряжений в цепи может быть уменьшено




Как показал Максвелл ещё в 1873 году, число уравнений для расчёта токов и напряжений в цепи может быть уменьшено, если составлять их только по одному из законов Кирхгофа, то есть только для контуров или только для узлов.

Ток в любой ветви электрической цепи всегда можно представить составленным из нескольких токов, каждый из которых замыкается по своему контуру, оставаясь вдоль него неизменным. Такие составляющие действительных токов называют контурными токами. Ток в любой ветви, принадлежащий только одному контуру, совпадает с контурным током. Ток в ветви, принадлежащей двум или нескольким контурам, равен алгебраической сумме соответствующих контурных токов.

Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными, следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Поэтому уравнения с контурными токами составляются только по второму закону Кирхгофа. Число таких независимых уравнений равно числу независимых контуров. Рассмотрим метод контурных токов на схеме рис. 21.

Рис. 21. Схема электрической цепи

В схеме рис. 21 число ветвей В равно семи, число узлов У равно пяти.

Число уравнений, которые нужно составить по второму закону Кирхгофа

К2 = В – (У – 1) = 7 – (5 – 1) = 3

Число независимых контуров Кнк в данной схеме так же равно трём:

Кнк = 3

Это и будет число уравнений, которые нужно составить для расчёта токов по методу контурных токов:

Кмкт = К2 = Кнк = 3

Выберем произвольно независимые контуры, например, контуры admba, acnda, abca.

Так же произвольно выберем направления контурных токов, например по часовой стрелке на схеме рис. 21.

Система контурных уравнений в наиболее общем случае, то есть когда в схеме имеются источники ЭДС и источники тока, имеет следующий вид:

I11R11 + I22R12 + I33R13 + IКЗR1K = E11;

I11R21 + I22R22 + I33R23 + IКЗR2K = E22; (40)

I11R31 + I22R32 + I33R33 + IКЗR3K = E33;

Здесь Rkk – суммарное сопротивление к-ого контура

R11 = R1 + R2 + R4 – суммарное сопротивление первого контура

R22 = R4 + R5 + R6 – суммарное сопротивление второго контура

R33= R1 + R3 + R6 – суммарное сопротивление третьего контура

Rkn = Rnk - взаимное сопротивление между к-ым и n-ым контурами.

Знак взаимного сопротивления берётся положительным, если контурные токи на этой ветви совпадают, и отрицательным – если не совпадают.

Запишем все взаимные сопротивления:

R12 = R21 = - R4; R13 = R31 = - R1; R23 = R32 = - R6;

R1k, R2k, R3k – это сопротивление первого, второго или третьего контуров соответственно, по которым замыкается ток от источника тока.

Перед написанием этих сопротивлений необходимо выбрать путь, по которому замыкается ток от источника тока Iкз. С целью некоторой экономии времени расчета выберем кратчайший путь через резистор R3 третьего контура. Этот путь на схеме рис. 21 обозначим штриховой линией.

По сколько в первом и втором контурах нет резисторов, по которым замыкается ток от источника тока Iкз, то R1k = R2k = 0. И только в третьем контуре есть резистор R3, по которому замыкается ток от источника тока Iкз.

Это сопротивление берётся положительным, если контурный ток и ток от источника тока на этом резисторе совпадают, и отрицательным – если не совпадает.

В нашем случае:

R3k = R3 (41)

Екк – суммарная ЭДС к-ого контура.

Если ЭДС совпадет с направлением контурного тока, то она берётся положительной, и если не совпадает – отрицательной:

Е11 = Е2; Е22 = 0; Е33 = -Е3; (42)

Далее нужно подставить численные значения сопротивлений резисторов, величины ЭДС и источника тока и решить системы уравнений для трёх неизвестных контуров токов I11, I22, I33. Для решения проще всего воспользоваться методом Крамера.

Определим далее токи в ветвях через контурные токи. Если контурный ток совпадает с направлением тока ветви, то он берётся положительным, если не совпадает – отрицательным.

I1 = I33 – I11; (43)

I2 = I11; (44)

I3 = I33 + Iкз; (45)

I4 = I11 – I22; (46)

I5 = - I22; (47)

I6 = I33 – I22; (48)

I7 = - I33; (49)

Из написанных токов выбивается из общего правила только ток I3, при расчёте которого кроме контурного тока нужно учесть ещё и ток от источника тока Iкз, который в выражении тока I3 входит со знаком «плюс», если совпадает с обозначенным направлением тока I3, и со знаком «минус» - если не совпадают.

 

 

ЛЕКЦИЯ №3







Дата добавления: 2015-03-11; просмотров: 57. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия