Резонанс. Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты соРассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты со. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора. Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту wрез — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума,— нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по w и приравняв нулю, получим условие, определяющее wрез: -4(w20-w2)w+8d2w=0. Это равенство выполняется при w=0, ±Ö(w20-2d2), у которых только лишь положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота wрез=Ö(w20 -2d2). (148.1) Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте wрез называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При d2<<w2 значение wрез практически совпадает с собственной частотой w0 колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим На рис. 210 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях б. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше б, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w®0, то все кривые (см. также (147.8)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению x0/w20, так называемому статическому отклонению. В случае механических колебаний x0/w 20 =F0/(mw 20 ), в случае электромагнитных — Um/(L w20). Если w®¥, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми. Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании (d2<<w20) резонансная амплитуда смещения (заряда) где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), х0/w20 — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Aрез. На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)
максимальна при (wрез=w0 и равна x0/(2d), т. е. чем больше коэффициент затухания 8, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна (Аv)max=ха/ (2d) =F0/r, а амплитуда тока при электрическом резонансе (АI)max=x0/(2d)=Um/R. Из выражения tgj=2dw/(w20-w2) (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j¹0. Зависимость j от w при разных коэффициентах б графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при изменении w изменяется и сдвиг фаз j. Из формулы (147.9) вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w0 независимо от значения коэффициента затухания dj=p/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на π/2. При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при (w>>w0 j®p, т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми. Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.
|