Метод итераций. Приведем систему (2.8) к виду, удобному для итерацийПриведем систему (2.8) к виду, удобному для итераций
xk = φ k (x 1, x 2, …, xn), 1 ≤ k ≤ n. (2.11)
Выберем начальное приближение к корню (x 10, x 20, …, xn 0) и последующие приближения вычислим по формулам
xks +1 = φ k (x 1 s, x 2 s, …, xns), 1 ≤ k ≤ n, s = 0, 1, 2, … (2.12)
Приведем без доказательства достаточные условия сходимости метода итераций (более строгое изложение можно найти, например, в [1, 2, 3, 7, 9]). Обозначим точное решение системы (2.8)
Теорема 2.4. Пусть в некоторой ε-окрестности точного решения
где Пример 2.9. Решить систему уравнений методом простых итераций
Решение. Выразим из первого уравнения y, а из второго — x:
Проверим условие сходимости (2.13). Найдем частные производные
Так как при любых допустимых значениях переменных верно неравенство
то не существует значений аргументов, при которых выполняются условия (2.13). Следовательно, для системы
нельзя гарантировать сходимость метода итераций. Выразим теперь из первого уравнения переменную x, а из второго — y и найдем частные производные:
Очевидно, что в окрестности точки x = 0,641; y = 0,801 условия (2.13) также не выполняются. Тем не менее, примем за начальные значения x = 0,641; y = 0,801 и выполним итерации. Заполним ячейки, как показано в таблице 2.11, выделим диапазон B 2: C 2 и протянем маркером заполнения вниз до 402-й строки(!). В таблице 2.12 приведены результаты расчетов. Они показывают, что метод итераций сходится, хотя и очень медленно. Таблица 2.11
Таблица 2.12
|
. Назовем ε-окрестностью точки 
множество точек x = (x 1, x 2, …, xn), удовлетворяющих условиям
.
существуют и удовлетворяют одному из трех неравенств
(2.13)
. Если начальное приближение 
принадлежит ε-окрестности точного решения, то метод простой итерации (2.12) сходится к точному решению.
,
