Математические модели числа

Математические модели числа

 

Возникновение понятия натурального числа

Понятие натурального числа, как и многие другие математические понятия, возникло из практических потребностей людей и складывалось постепенно. Основной причиной, которая привела человека к созданию натуральных чисел, явилась необходимость сравнивать различные конечные множества по числу элементов.

В ходе развития понятия натурального числа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе, в глубокой древности, сравнение множеств по количеству элементов осуществлялось путем непосредственного установления взаимно однозначного соответствия. Так было при дележе добычи, распределения оружия и в других ситуациях. Однако такой метод был применим не всегда. Например, с его помощью нельзя было узнать, в каком из двух удаленных друг от друга стад больше овец. Трудно было и зафиксировать результат сравнения двух множеств.

Поэтому на следующем этапе развития для этих целей стали применяться «множества-посредники». Если множество имело небольшое число элементов, то таким посредником чаще всего были пальцы. Например, о множестве из 5 яблок, человек говорил: «Рука яблок»; а о множестве из 20 стрел – «Стрел столько же, сколько пальцев у человека» или «человек стрел».

При большей численности множеств стали пользоваться специальными множествами-посредниками, состоящими из камешков, узелков, раковин и др. предметов. Если требовалось сравнить два стада по количеству голов, то поступали следующим образом. Устанавливали взаимно однозначное соответствие между множеством голов в первом стаде и множеством ракушек, а затем – между множеством ракушек и количеством голов во втором стаде.

Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых множеств, т.е. числа были именованными. Отвлеченных чисел на этом этапе еще не было.

Оперируя множествами-посредниками, человек постепенно замечал то общее, что существует между множествами, имеющими одного посредника, например между пятью пальцами и пятью яблоками – их количество равно пяти. Так произошло отвлечение от природы элементов и возникло представление о натуральном числе. Это был важнейший этап в становлении понятия натурального числа.

Процесс абстрагирования привел к возникновению общего понятия о числах «один», «два» и первоначально множество натуральных чисел возникло в виде отдельных «островков», не слившихся в единый материк (1, 2, 3 …. 10, 20, 20 без 2, 100, 100 без 10). Лишь затем стали располагать числа в один ряд, прибавляя каждый раз по одному элементу. Так возникло понятие ряда натуральных чисел.

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Многие трудности в решении этих проблем были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и понятия нуля. Постепенно сложилось представление и о бесконечности множества натуральных чисел.

После того как понятие натурального числа сформировалось, числа стали самостоятельными объектами и появилась возможность изучать их как математические объекты. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название арифметика.

Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый Боэций (473 - 524 гг.).

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются разделом математики, который называется «теория чисел».

В математике известны различные способы построения теории натуральных чисел. Мы рассмотрим основные идеи только трех: количественной теории, порядковой теории и теории о натуральном числе как результате измерения величин.

 

Количественная теория натуральных чисел

В основу данной теории положены понятия конечного множества и взаимно однозначного соответствия. Поэтому в данной теории рассматривается теоретико-множественный смысл натурального числа.

Построение системы натуральных чисел на основе теории множеств связывают с именем Георга Кантора, который в 19 веке создал саму теорию множеств.

Вспомним что два множества А и В называются равномощными (А ~ В), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (биективное отображение). Для конечных множеств вместо термина «равномощные» используется термин «равночисленные».

Таким образом, два конечных множества А и В называются равночисленными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Отношение равночисленности на множестве всех конечных множеств обладает следующими свойствами:

1. Рефлексивности – «А равночисленно самому себе», т.е. А ~ А.

2. Симметричности – «Если А равночисленно В, то В равночисленно А», т.е. А ~ В Þ В ~ А.

3. Транзитивности – «Если А равночисленно В и В равночисленно С, то А равночисленно С», т.е. А ~ В и В ~ С Þ А ~ С.

Это означает, что отношение равночисленности является отношением эквивалентности и определяет разбиение всех конечных множеств на классы эквивалентности. В один и тот же класс входят множества самой различной природы, общим для них является только свойство равночисленности, то есть то, что они содержат одинаковое количество элементов.

Например, множество сторон квадрата содержится в том же классе эквивалентности, что и множество времен года, множество лап у кошки, множество букв в слове «снег».

Назовем натуральным числом общее свойство класса непустых конечных равночисленных друг другу множеств.

Так, число 3 означает не три палочки, три стороны треугольника, три пары лекций, а то общее свойство, которым обладают все эти множества – их общую количественную характеристику.

Таким образом, в количественной теории натуральное число понимается как количество элементов конечного множества.

Каждому классу соответствует одно и только одно натуральное число, каждому натуральному числу – один и только один класс равномощных конечных множеств.

Каждый класс равночисленных множеств вполне определяется любым своим представителем, поэтому можно говорить о натуральном числе, определенном любым множеством данного класса. Например, класс множеств, равночисленных множеству вершин треугольника и определяющий натуральное число «три» можно задать, указав множество А = {а, в, с}. Следовательно, множество А определяет натуральное число «три».

Вообще каждому конечному множеству А соответствует одно и только одно натуральное число а равное количеству элементов этого множества, но каждому натуральному числу а соответствуют различные равномощные множества из одного класса эквивалентности. Поэтому числу «семь» будет соответствовать и множество дней недели, и множество цветов радуги, и множество букв в слове «ученица» и др.

Число нуль также имеет теоретико-множественный смысл, оно ставится в соответствие пустому множеству.

В курсе математики периода детства количественное натуральное число рассматривается как общее свойство класса конечных равночисленных множеств. Поэтому, когда изучается число «один», детям предлагаются иллюстрации, на которых изображен один объект: одно яблоко, одна девочка, одно ведерко и т.д.; когда рассматривается число «четыре», детям предлагаются изображения различных совокупностей, содержащих четыре элемента: четыре кубика, четыре цветочка, четыре палочки и т.д. Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, число элементов в множестве определяется путем пересчета.

Действия над натуральными числами

(количественная теория)

Операция сложения натуральных чисел в количественной теории связана с операцией объединения конечных множеств.

Пусть два множества А и В – конечные и непересекающиеся, т.е. А Ç В = Æ.

Суммой натуральных чисел а и в называется натуральное число а + в, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В таких, что n(А) = а, n(В) = в.

Запись n (А) = а означает, что численность множества А равна а, а n (В) = в - численность множества В равна в.

Исходя из определения можно записать: а + в = n (А È В), где а = n (А), в = n (В).

Операция, с помощью которой по данным натуральным числам а и в находят натуральное число с, являющееся их значением суммы, называется сложением.

В записи а + в = с числа а и в называются слагаемыми, а + в называется суммой, а число с - называется значением суммы.

В курсе математики периода детства сложение вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух предметных множеств. Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения является решение простых текстовых задач. Например, рассмотрим задачу «На тарелке лежало 2 яблока и 3 груши. Сколько всего фруктов лежало на тарелке?». Представим наглядно условие задачи. Для этого возьмем 2 яблока (или 2 кружка) и 3 груши (или 3 треугольника). Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к яблокам присоединить груши (или к кружкам присоединить треугольники), т.е. объединить два множества (множество яблок (кружков) и множество груш (треугольников)), и сосчитать, сколько оказалось элементов в этом объединении.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция сложения натуральных чисел.

1. Каковы бы ни были два натуральных числа а и в, всегда существует единственное натуральное число с, являющееся их значением суммы. Другими словами, значение суммы любых двух натуральных чисел всегда существует и есть число единственное.

2. Коммутативный закон сложения: (" а, в Î N) (а + в = в + а).

3. Ассоциативный закон сложения: (" а, в, с Î N) ((а + в) + с = а + (в + с)).

4. Монотонность сложения: (" а, в, с Î N) (если а < в, то а + с < в + с).

Доказательство закона коммутативности сложения опирается на коммутативность операции объединения двух множеств. Доказательство ассоциативного закона сложения опирается на ассоциативность операции объединения трех множеств.

Докажем второй закон - коммутативный закон сложения: Построим такие конечные множества А и В, что n (А) = а, n (В) = в и А Ç В = Æ. Для любых множеств справедлив коммутативный закон объединения АÈ В = В È А. Равные конечные множества имеют равные численности, то есть n (А È В) = n (В È А).

По определению суммы натуральных чисел n (А È В) = n (А) + n (В) = а + в; n (В È А) = n (В) + n (А) = в +а.

Следовательно, а + в = в + а верно для любых натуральных чисел.

Выясним теоретико-множественный смысл разности натуральных чисел. Для этого рассмотрим множества А = { а, в, с, d, е } и В ={ в, d, е }. Если удалить В из А, то останется множество А\ В = { а, с }, являющееся дополнением множества В до множества А (на рисунке А\ В - закрашенная область). Полученное множество состоит из двух элементов.

 

Из приведенного примера видно, что если n (А) =5, n (В) = 3 и В Ì А, то 5 – 3 = 2, где 2 = n (А \ В). То есть разность чисел 5 и 3 является числом элементов в дополнении множества В до множества А. Это наблюдение и положено в основу определения разности натуральных чисел в количественной теории.

Разностью натуральных чисел а и в называется натуральное число а – в, равное числу элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n (А) = а, n (В) = в и В Ì А.

Исходя из определения можно записать: а - в = n (А \ В), где а = n (А), в = n (В) и В Ì А.

Действие, с помощью которого по данным натуральным числам а и в находят натуральное число с, являющееся их значением разности, называется вычитанием.

В записи а - в = с число а называется уменьшаемым, число в - вычитаемым, а - в называется разностью, а число с - значением разности.

В математике, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания обращаются к действию сложения. Это связано с тем, что между действиями сложения и вычитания имеется определенная связь. Покажем что это за связь.

Пусть даны натуральные числа а и в, такие, что а = n (А), в = n (В) и В Ì А. Изобразим на кругах Эйлера-Венна множества А, В и А \ В.

 

А

 

 

Из рисунка видно, что А = В È (А \ В), откуда n (А) = n (В È (А \ В)). Поскольку В Ç (А\В) = Æ, то получим n (А) = n (В) + n (А \ В) или а = в + (а – в). Данное равенство показывает, что разность а - в есть такое число, сумма которого и числа в равна числу а.

Данный факт позволяет по-другому дать определение значения разности.

Значением разности натуральных чисел а и в называется такое натуральное число с, сумма которого и числа в равна а.

Аналогично можно провести теоретико-множественное истолкование обратной связи. Таким образом, а - в = с Û а = в + с.

Говорят, что действие вычитания является обратным действию сложения.

В курсе математики периода детства первоначально вычитание натуральных чисел рассматривается на основе практических упражнений, связанных с выделением подмножества данного множества и образованием нового множества – дополнения выделенного подмножества. При этом главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла вычитания является решение простых текстовых задач.

Рассмотрим свойства, связанные с действием вычитания.

1. Разность натуральных чисел а и в существует и единственна тогда и только тогда, когда в < а.

2. Правило вычитания числа из суммы: (а + в) – с = (а – с)+ в = а + (в – с), если а > c и в > c.

3. Правило вычитания суммы из числа: а – (в +с) = (а – в) – с = (а – с) – в.

4. Правило вычитания разности из числа: а – (в - с) = (а – в) + с = (а + с) – в.

5. Правило прибавления разности к числу: а +(в - с) =(а + в) – с = (а – с) + в, если а > c.

Дадим теоретико-множественное обоснование правила вычитания суммы из числа. С этой целью рассмотрим три конечных множества А, В и С таких, чтоn (А) = а, n (В) = в, n (С) = с, В ÇС = Æ и В È С Ì А. Тогда а – (в + с) = n (А\ (В È С)), (а – в) – с = n ((А\ В) \ С), (а – с) – в = n ((А\ С) \ В).

Покажем сначала, что выполняется равенство а – (в +с) = (а – в) – с.

 

 

Рис. (а) Рис. (б)

На диаграммах Эйлера-Венна множество А\ (В È С) представлено светлой областью на рисунке (а), а множество (А\ В) \ С – темной областью на рисунке (б). Сравнивая указанные области, убеждаемся в том, что они одинаковы. Значит, для множеств А, В и С выполняется равенство А\ (В È С) = (А\ В) \ С. Следовательно, n(А\(В È С)) = n((А\ В)\ С), то есть а – (в +с) = (а – в) – с.

Аналогично показывается, что а – (в +с) = (а – с) – в. И, на основании этого, делается вывод о выполнимости свойства вычитания из числа суммы а – (в +с) = (а – в) – с = (а – с) – в.

 

Понятие произведения натуральных чисел в количественной теории может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Произведением натуральных чисел а и в называется такое натуральное число а × в, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) а × в = а + а +…..+ а при в > 1;

в слагаемых

2) а × 1 = а при в = 1;

3) а × 0 = 0 при в = 0.

Действие, при помощи которого находят значение произведения чисел а и в, называется умножением, числа а и в называются множителями, выражение а × в – произведением, число, полученное в результате умножения, называется значением произведения.

Данное определение произведения имеет следующий теоретико-множественный смысл. Если множества А₁, А₂, А₃, …, А _в имеют по а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит а × в элементов. Следовательно, произведение а × в – это число элементов в объединении в попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов.

С данным подходом к умножению учащиеся знакомятся в начальных классах. В учебнике математики дается следующее определение умножения: «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением». Смысл этого определения раскрывается при решении простых задач.

Например, рассмотрим задачу: «На каждую рубашку нужно пришить 5 пуговиц. Сколько пуговиц нужно пришить на 4 таких рубашки?». В данной задаче требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 4 множеств, а в каждом множестве содержится по 5 элементов. Согласно определению это число находится умножением: 5 ×; 4=20 (пуговиц).

Второй подход к определению действия умножения связан с декартовым произведением двух множеств. Пусть нам даны два множества А = {а, в, с} и В = {1, 2}. Найдем их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:

(а, 1), (в, 1), (с, 1),

(а, 2), (в, 2), (с, 2).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую вторую компоненту, а в каждом столбце одинаковая первая компонента. При этом строки не имеют ни одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А х В равно 3 + 3 = 6. С другой стороны, n (А) = 3, n (В) = 2 и 3 ×; 2 = 6. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А и В равно произведению n (А) ×; n (В).

Вообще, если А и В – конечные множества, то n (А х В) = n (А) ×; n (В).

Таким образом, произведением натуральных чисел а и в называется натуральное число а × в, равное числу элементов декартова произведения множеств А и В таких, что n (А) = а, n (В) = в.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция умножения натуральных чисел.

1. Каковы бы ни были два натуральных числа а и в, всегда существует единственное натуральное число с, являющееся их значением произведения. Другими словами, значение произведения любых двух натуральных чисел всегда существует и есть число единственное.

2. Коммутативный закон умножения: (" а, в Î N) (а × в = в × а).

3. Ассоциативный закон умножения: (" а, в, с Î N) ((а × в) × с = а ×; (в × с)).

4. Монотонность умножения: (" а, в, с Î N) (если а < в, то а × с < в × с).

5. Дистрибутивность умножения относительно сложения слева: (" а, в, с Î N) (а×; (в +с) = а × в + а × с).

6. Дистрибутивность умножения относительно сложения справа: (" а, в, с Î N) ((а + в)× с = а × с + в × с).

7. Дистрибутивность умножения относительно вычитания слева: (" а, в, с Î N) (а×; (в - с) = а × в - а × с).

8. Дистрибутивность умножения относительно вычитания справа: (" а, в, с Î N) ((а - в)× с = а × с - в × с).

Справедливость данных законов опирается на выполнимость соответствующих свойств для операций над множествами.

Докажем справедливость закона 5. Для того возьмем конечные множества А, В и С, которые удовлетворяют следующим условиям: n (А) = а, n (В) = в, n (С) = с и В Ç С = Æ.

Поскольку для любых множеств имеет место дистрибутивность декартова произведения относительно объединения, то он выполняется и для наших множеств А, В и С, то есть А х (В È С) = (А х В) È (А х С).

Из равенства конечных множеств вытекает равенство их численностей. Это означает, что n (А х (В È С)) = n ((А х В) È (А х С)). Но n (А х (В È С)) = а×; (в +с), а n ((А х В) È (А х С))= а× в + а × с, что и требовалось доказать.

 

Рассмотрим теоретико-множественный смысл частного. Операция деления на множестве натуральных чисел связана с разбиением множества на классы. При этом решаются две задачи.

1. 10 яблок разложили на несколько тарелок, по 2 яблока на каждую тарелку. Сколько тарелок потребовалось?

Ответ на вопрос задачи находится действием деления:

10: 2 = 5 (тарелок).

Проанализируем решение этой задачи. В задаче рассматривается множество, в котором 10 элементов. Оно разбивается на подмножества, в каждом из которых по 2 элемента, т.е. на равночисленные подмножества. Кроме того, они попарно не пересекаются. В задаче спрашивается, сколько таких подмножеств получилось. Таким образом, число 5, полученное в ответе, - это число двухэлементных подмножеств, на которое разбито множество из 10 элементов.

2. Учительница раздала 6 тетрадей 3 ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?

Данная задача также решается действием делением:

6: 3 = 2 (тетради).

Но число 2 здесь играет другую роль – оно обозначает число элементов в каждом из трех равночисленных непересекающихся подмножеств, на которые разбито множество, состоящее из 6 элементов.

Опишем эти задачи в общем виде и дадим определение частного натуральных чисел.

1. Имеем множество А, такое что n (А) = а. Данное множество необходимо разбить на попарно непересекающиеся подмножества, в каждом из которых содержится по в элементов. Тогда частное а: в показывает, сколько подмножеств содержится в таком разбиении. В этом случае говорят о делении по содержанию.

2. Имеем множество А, такое что n (А) = а. Теперь множество необходимо разбить на в равночисленных попарно непересекающихся подмножеств. Тогда частное а: в показывает, сколько элементов содержится в каждом подмножестве. В этом случае говорят о делении на равные части.

Таким образом, определение частного натуральных чисел будет иметь следующий вид:

Пусть а = n (А) и множество А разбито на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества, тогда

1) если в – число элементов каждого подмножества, то частным а: в называется число подмножеств в разбиении;

2) если в – число подмножеств в разбиении, то частным а: в называется число элементов каждого подмножества.

В записи а: в = с число а называется делимым, число в –делителем, выражение а: в – частным, а число с - значением частного. Действие, при помощи которого находят значение частного, называется делением.

В математике, чтобы проверить правильность выполнения действия деления обращаются к действию умножения. Это связано с тем, что между действиями умножения и деления имеется определенная связь. Покажем что это за связь.

Пусть а = n(А) и множество А разбито на в попарно непересекающихся равночисленных подмножеств, т.е. А = А₁ È А₂ È А₃ È … È А _в, где n (А₁) = n (А₂) = n (А₃) = …= n (А _в) = а: в = с.

Но тогда по определению суммы n(А) = n (А₁ È А₂ È А₃ È … È А _в) = n (А₁) + n (А₂) + …+ n (А _в). Учитывая определение произведения, последнее равенство можно записать так:

а = с + с + с + …+ с = с× в.

 

в слагаемых

Равенство а = в × с выражает связь операций деления и умножения. Данный факт позволяет по-другому дать определение значения частного.

Значением частного натуральных чисел а и в называется такое натуральное число с = а: в, которое в произведении с числом в дает число а.

Аналогично можно провести теоретико-множественное истолкование обратной связи. Таким образом, а: в = с Û а = в× с.

Рассмотрим свойства, связанные с действием деления.

1. Для того чтобы существовало значение частного натуральных чисел а и в необходимо, чтобы в ≤ а. Если значение частного существует, то оно единственно.

2. Деление на нуль невозможно.

3. Правило деления суммы на число: (а + в): с = а: с + в: с.

4. Правило деления разности на число: (а - в): с = а: с - в: с.

5. Правило деления произведения на число: (а× в): с = (а: с)× в = а× (в: с), если а с и в с.

6. Правило деления числа на произведение: а: (в × с) = (а: в): с = (а: с): в.

7. Правило умножения числа на частное: а × (в: с) = (а× в): с = (а: с)× в.

Докажем справедливость свойства 3. Пусть даны множества А и В такие, что А Ç В = Æ и n(А) = а, n(В) = в. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение на с подмножеств. Если при этом множество А состоит из а: с подмножеств, а В – из в:с подмножеств, то А È В состоит из а: с + в: с подмножеств. Это и означает, что (а + в): с = а: с + в: с.

Порядковая теория натуральных чисел

В конце 19 века была построена порядковая теория натуральных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858-1932гг.), построившего эту теорию на аксиоматической основе.

Аксиоматический подход к построению теории состоит в следующем: 1) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через основные или ранее определенные; 2) выделяются некоторые исходные предложения, или аксиомы, истинность которых принимается без доказательства; все остальные предложения теории – теоремы – логически выводятся или доказываются с использованием введенных понятий, ранее доказанных фактов, теорем.

Аксиоматический подход применяется для построения теории, о которой уже имеются определенные, сформированные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».

Поход к построению теории натуральных чисел, берущий начало от Пеано, представляет собой определенный способ математизации интуитивного представления о натуральном ряде чисел.

В качестве основных (неопределяемых) используются следующие понятия: множество, элемент, содержится (принадлежит). Множество натуральных чисел обозначается N, элементы множества – а, в, с …. Основным отношением выбирается отношение «непосредственно следовать за». Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а´;.

Отношение «непосредственно следовать за» удовлетворяет следующим аксиомам Пеано:

Аксиома 1. Единица непосредственно не следует ни за каким натуральным числом (т.е. единица – это «первое» натуральное число и не является «правым соседом» никакого другого натурального числа).

Аксиома 2. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число (т.е. любое натуральное число имеет только одного «правого соседа»).

Аксиома 3. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (т.е. единица не следует ни за каким, всякое другое натуральное число - точно за одним).

Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».

Аксиома 4. Если множество М есть подмножество множества натуральных чисел N, и известно, что оно содержит единицу и вместе с некоторым натуральным числом а содержит натуральное число а´;, непосредственно следующее за а, то это множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел N (т.е. М = N).

Данная аксиома, хотя по своему содержанию более сложная, чем первые три, но она также выражает достаточно простое свойство: с помощью последовательного прибавления единицы, начиная с единицы, можно получить все натуральные числа. Всякий раз, когда мы доходим до некоторого числа а, допускается возможность написания непосредственно следующего за ним числа а´;.

Опираясь на введенное отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, характеризующие множество N, можно дать следующее определение натурального числа.

Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральными числами.

Аксиоматический подход к теории натуральных чисел при изучении математики в период детства не рассматривается, однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах 1-4, являются предметом изучения в период детства и используются при решении задач. При рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом широко используются понятия «следует», «предшествует», прибавление и вычитание 1. Каждое новое число с самого начала выступает как продолжение ранее изученного отрезка N натурального ряда чисел. При таком подходе создаются условия для того, чтобы дети подметили некоторые общие свойства чисел натурального ряда: не только данное, рассматриваемое на этом занятии число, но и вообще любое число может быть получено прибавлением 1 к числу, которое встречается при счете перед ним, или вычитанием 1 из числа, которое идет при счете сразу после него; любое число на 1 больше, чем ему предшествующее. Таким образом, дети убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.

 

Метод математической индукции

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство |AB| + |BC| ≥ |AC|.

По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4 < n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3

12 = 7 + 5 14 = 7 + 7 16 = 11 + 5 18 = 13 + 5

20 = 13 + 7

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция).

Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1 = 1 = 1²

1 + 3 = 4 = 2²

1 + 3 + 5 = 9 = 3²

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод: 1 + 3 + 5 +…+ (2 n - 1) = n² , т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n ²

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости приведённой формулы.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересны