Алгебраические операции1) Пусть 2) Доказывается аналогично 1). Пусть 3) Пусть 4) Пусть Следствие. Из доказанной теоремы следует, что если Теорема 8. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка Доказательство. Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом Алгебраические операции.
|
и 
. Докажем, что 
. Так как 
и 
, то последнее равенство можно переписать в равносильном виде 
, что равносильно 
. Справедливость последнего равенства следует из коммутативности операции 
.
. Тогда 
: 
, 
, 
. Далее по аналогии.
. Докажем, что 
. Пусть 
. Аналогично доказывается 
.
, где 
− нейтральный элемент в 
. Действуя на все элементы этого равенства функцией 
, получаем требуемое равенство.■
и 
− группа, то 
− также группа. Аналогично для колец и полей.
.
отображается взаимно однозначно на аддитивную группу (Z, +), если каждому элементу 
этой группы ставится в соответствие число 
. Это отображение является изоморфизмом, так как согласно (3) при перемножении степеней элемента 
порядка 
, изоморфизм строится сопоставлением элементу 
группы 
C. Изоморфность такого отображения следует из следствия к теореме 2 из § 1.■
