Вынужденные колебания пружинного маятника под действием периодических толчков

Гиря массой m = 0,5 кг подвешена к спиральной пружине жесткостью k = 20 Н/м. Логарифмический декремент затухания колебательной системы равен . Гирю хотят раскачать короткими толчками, действуя на гирю силой F = 100 мН в течение времени τ = 0,01 с. Какой должна быть частота следования ударов, чтобы амплитуда гири была наибольшей? В какие моменты и в каком направлении следует толкать гирю? До какой амплитуды удастся раскачать гирю таким способом?

Решение

1. Вынужденные колебания могут происходить при любом периодическом воздействии. При этом установившееся колебание будет происходить с частотой следования внешнего воздействия. Если период внешних толчков совпадает с частотой собственных колебаний, то в системе наступает резонанс – амплитуда колебаний становится наибольшей. В нашем случае для наступления резонанса период следования толчков должен совпасть с периодом колебаний пружинного маятника.

Логарифмический декремент затухания мал, следовательно, мало трение в системе, и период колебаний маятника в вязкой среде практически совпадает с периодом колебаний маятника в вакууме:

2. Очевидно, направление толчков должно совпадать со скоростью гири. В этом случае работа внешней силы, пополняющей систему энергией, будет положительной. И колебания будут раскачиваться. Энергия, получаемая системой в процессе удара

,

будет наибольшей при прохождении грузом положения равновесия, ибо в этом положении скорость маятника максимальна.

Итак, наиболее быстро система раскачается при действии толчков в направлении движения груза при прохождении им положения равновесия.

3. Амплитуда колебаний прекращает расти, когда энергия, сообщаемая системе в процессе удара, будет равна потерям энергии на трение за период: .

Энергию потерь за период найдем через добротность колебательной системы

,

где Е – полная энергия колебательной системы, которая может быть рассчитана как .

Подставляем вместо энергии потерь энергию, получаемую системой в процессе удара:

Максимальная скорость в процессе колебаний равна . С учетом этого получаем .

 

Тест «Вынужденные колебания»

1. Какие колебания называются вынужденными?

А. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Б. Колебания, возникающие в системе после внешнего толчка.

2. Какие из перечисленных колебаний является вынужденным?

А. Колебание груза, подвешенного к пружине, после однократного его отклонения от положения равновесия.

Б. Колебание диффузора громкоговорителя во время работы приемника.

В. Колебание груза, подвешенного к пружине, после однократного удара по грузу в положении равновесия.

Г. Вибрация корпуса электрического двигателя в процессе его работы.

Д. Колебания барабанной перепонки человека, слушающего музыку.

3. На колебательную систему с собственной частотой действует внешняя вынуждающая сила, меняющаяся по закону . Коэффициент затухания в колебательной системе равен . По какому закону изменяется координата тела с течением времени?

А.

Б.

В.

Г.

 

4. На колебательную систему действует внешняя вынуждающая сила, меняющаяся по закону . Амплитуда внешней силы неизменна с течением времени. Как меняется амплитуда вынужденных колебаний, когда собственные колебания, возникшие в системе в момент начала действия внешней силы, прекратились?

А. Амплитуда вынужденных колебаний будет уменьшаться, так как система будет непрерывно терять энергию за счет работы силы трения.

Б. Амплитуда вынужденных колебаний будет увеличиваться, поскольку энергия системы будет непрерывно возрастать за счет работы внешней вынуждающей силы

В. Амплитуда вынужденных колебаний будет оставаться неизменной, так как потери энергии системой на трение будут восполняться прибылью энергии за счет работы внешней вынуждающей силы.

 

5. Система совершает вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Укажите все факторы, от которых зависит амплитуда этих колебаний.

А. от амплитуды внешней вынуждающей силы

Б. наличия у колебательной системы энергии в момент начала действия внешней силы

В. параметров самой колебательной системы

Г. трения в колебательной системе

Д. существования в системе собственных колебаний в момент начала действия внешней силы

Е. времени установления колебаний

Ж. частоты внешней вынуждающей силы

 

6. Брусок массой m совершает вынужденные гармонические колебания по горизонтальной плоскости с периодом T и амплитудой A. Коэффициент трения μ. Какую работу совершает внешняя вынуждающая сила за время, равное периоду T?

А. 4μmgA.

Б. 2μmgA.

В. μmgA.

Г. 0.

Д. Ответ дать не возможно, так как не известна величина внешней вынуждающей силы

 

7. Составьте правильное утверждение

 

Резонансом называется явление…

А. совпадения частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы;

Б. резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний.

 

Резонанс наблюдается при условии

А. уменьшении трения в колебательной системе;

Б. увеличении амплитуды внешней вынуждающей силы;

В. совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы;

Г. при совпадении частоты внешней силы с резонансной частотой.

8. Явление резонанса может наблюдаться в…

А. в любой колебательной системе

Б. в системе, совершающей свободные колебания

В. в автоколебательной системе

Г. в системе, совершающей вынужденные колебания

9. На рисунке представлен график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Резонанс наступает на частоте…

А. 0 Гц

Б. 20 Гц

В. 125,6 Гц

Г. 3,2 Гц

 

 

10. Три одинаковых маятника, находящиеся в различных вязких средах, совершают вынужденные колебания. На рисунке показаны резонансные кривые для этих маятников. Какой из маятников испытывает наибольшее сопротивление со стороны вязкой среды в процессе колебаний?

А. 1 Б. 2 В. 3

Г. ответ дать не возможно, поскольку амплитуда вынужденных колебаний кроме частоты внешней силы зависит еще и от ее амплитуды. Об амплитуде внешней вынуждающей силы в условии ничего не говорится.

11. Период собственных колебаний колебательной системы равен Т₀. Каким может быть период следования толчков, чтобы амплитуда колебаний резко увеличилась, т.е. в системе возник резонанс?

А. Т₀

Б. Т₀, 2 Т₀, 3 Т₀,…

В. Раскачать качели можно толчками любой частоты

 

12. Ваш младший брат сидит на качелях, вы раскачиваете его кратковременными толчками. Каким должен быть период следования толчков, чтобы процесс происходил наиболее эффективно? Период собственных колебаний качелей Т₀.

А.

Б.

В.

Г. Раскачать качели можно толчками любой частоты

 

13. Ваш младший брат сидит на качелях, вы раскачиваете его кратковременными толчками. В каком положении качелей следует производить толчок и в каком направлении толкать, чтобы процесс происходил наиболее эффективно?

А. толкать в крайнем верхнем положении качелей в направлении положения равновесия

Б. толкать в крайнем верхнем положении качелей в направлении от положения равновесия

В. толкать в положении равновесия в направлении движения качелей

Г. толкать можно в любом положении, но обязательно в направлении движения качелей

 

14. Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным колебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однако это вряд ли удастся. Почему?

А. масса моста (его инертность) велика по сравнению с массой «пули» из рогатки, мост не сможет прийти в движение под действием таких ударов.

Б. сила удара «пули» из рогатки настолько мала что, мост не сможет прийти в движение под действием таких ударов.

В. энергия, сообщаемая мосту за один удар много меньше потерь энергии на трение за период

15. Вы несете ведро с водой. Вода в ведре раскачивается и выплескивается. Что можно сделать, чтобы этого не происходило?

А. Размахивать рукой, в которой находится ведро, в такт с ходьбой.

Б. Изменить скорость движения, оставив неизменной длину шагов.

В. Периодически останавливаться и ждать, когда колебания воды успокоятся.

Г. Следить за тем, чтобы в процессе движения рука с ведром располагалась строго вертикально.