ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Большую значимость, особенно гуманитарную и даже гуманистическую имеют математические модели, позволяющие находить экономически эффективные и экологически чистые решения, способствующие сохранению не только материальных ценностей, но и жизней. Ярким примером тому служит «таблица непотопляемости», т.е. математическая модель живучести судна.

Известно, что корпус корабля разделен водонепроницаемыми перегородками на отсеки, чтобы при пробоинах вода не залила корабль полностью. Если в каком-то отсеке образуется пробоина, и он заполняется водой, то для уменьшения крена приходится сознательно заполнять водой отсеки с противоположного борта. Однако, были нередко случаи, когда капитан корабля отдавал приказ о затоплении не тех отсеков: судно переворачивалось и погибало.

Оригинальную меру предотвращения такого катастрофического исхода предложил выдающийся корабел и математик, академик А.Н. Крылов. Еще при проектировании судна можно рассчитать, как скажется на его крене затопление каких-то отсеков и какие отсеки с противоположной стороны необходимо затопить для выравнивания крена, а результаты таких расчетов свести в «таблицу непотопляемости». Теперь такими таблицами снабжаются суда всех флотов мира.

Простая идея и модель живучести судна, но сколько жизней и материальных ценностей было, да и будет спасено.

А, если такая таблица предотвращает катастрофу танкера с огромным количеством нефти, которая не выливается в море, то это уже будет свидетельствовать и о большой её экологической значимости.

 

3.2 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ПОДЧИНЁННОЙ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ

Уже в модели, связанной с бросанием игральной кости, исход опыта выражался числом выпавших очков. Существует много таких задач, в которых случайный исход опыта выражается числом, являющимся значением случайной величины. Так называют величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно. Рассмотрим СВ «Размер обуви». Для продавца эта величина является случайной, поскольку ему заранее неизвестно, какой размер будет востребован покупателем. Эта СВ как и любая другая дискретная величина может быть представлена в виде табличной модели случайного опыта, в верхней строке которой будут записаны числа, соответствующие исходам опыта. Рассмотрим эксперимент по продаже обуви, проводимый в течение недели в стране, в результате которого будут подсчитаны количества пар обуви каждого размера из проданных за указанное время N пар.

Размер обуви	…				…		…
Относительные частоты	…				…		…

Здесь N – общее число пар проданной обуви, – число пар проданной обуви К – го размера, – относительная частота, которая в пределе при N® ¥ может быть заменена соответствующей вероятностью. Сумма всех относительных частот из нижней строки равна 1.

Такая табличная модель случайной величины «Размер обуви» имеет большое практическое значение, так как она указывает, в каких пропорциях или процентных отношениях следует наладить производство обуви необходимых размеров, чтобы были удовлетворены потребности населения.Теперь отвлечёмся от конкретных примеров и зададим дискретную СВ Х таблицей

Значения СВ X, x	Х1	Х2	Х3	…	хn
Вероятности значений X	P1	P2	P3	…	pn

где, – значение X, – вероятность этого значения и

.

Когда указанная таблица, в которой вероятности Pk заменены относительными частотами , моделирует массовые или многократно повторяемые опыты, естественно поставить вопрос о среднем значении С X. Так как относительная частота значения x1 равна , то в серии из N опытов N1 раз будет появляться x1, а потому

,

т.е. , аналогично и т.д. .

Сумма всех значений величины X, наблюдаемых в N опытах, будет

,

значит среднее значение равно найденной сумме, делённой на N, т.е. , которое в пределе при N®¥, когда , совпадёт с теоретическим (идеализированным) средним значением, называемым математическим ожиданием СВ X. Итак, - математическое ожидание СВ X, которое является её средним теоретическим значением.

Однако при решении многих задач недостаточно знать только математическое ожидание (МО) СВ X: значения многих СВ с одним и тем же МО могут быть различным образом разбросаны, рассеяны около МО. Основными характеристиками рассеивания СВ X являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение

,

где , .