Студопедия — Тема 2. Методы линейного программирования. Решение транспортной задачи методом потенциалов
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 2. Методы линейного программирования. Решение транспортной задачи методом потенциалов






 

Этот метод позволяет автоматически выделять циклы с отрицательной ценой и определять их цены.
Пусть имеется транспортная задача с балансовыми условиями



.
Стоимость перевозки единицы груза из Ai в Bj равна C ij; таблица стоимостей задана. Требуется найти план перевозок xij, который удовлетворял бы балансовым условиям и при этом стоимость всех перевозок бала минимальна.
Идея метода потенциалов для решения транспортной задачи сводиться к следующему. Представим себе что каждый из пунктов отправления Ai вносит за перевозку единицы груза (всё равно куда) какую-то сумму αi; в свою очередь каждый из пунктов назначения Bj также вносит за перевозку груза (куда угодно) сумму βj. Эти платежи передаются некоторому третьему лицу ("перевозчику"). Обозначим ai + bj = č;ij (i=1..m; j=1..n) и будем называть величину č; ij "псевдостоимостью” перевозки единицы груза из Ai в Bj. Заметим, что платежи αi и βj не обязательно должны быть положительными; не исключено, что "перевозчик” сам платит тому или другому пункту какую-то премию за перевозку. Также надо отметить, что суммарная псевдостоимость любого допустимого плана перевозок при заданных платежах (αi и βj) одна и та же и от плана к плану не меняется.
До сих пор мы никак не связывали платежи (αi и βj) и псевдостоимости č; ij с истинными стоимостями перевозок Cij. Теперь мы установим между ними связь. Предположим, что план xij невырожденный (число базисных клеток в таблице перевозок ровно m + n -1). Для всех этих клеток xij>0. Определим платежи (αi и βj) так, чтобы во всех базисных клетках псевдостоимости были ровны стоимостям:
č; ijij= с ij, при xij>0.
Что касается свободных клеток (где xij =0), то в них соотношение между псевдостоимостями и стоимостями может быть, какое угодно.
Оказывается соотношение между псевдостоимостями и стоимостями в свободных клетках показывает, является ли план оптимальным или же он может быть улучшен. Существует специальная теорема: Если для всех базисных клеток плана xij>0,
αij= č;ij= с ij,
а для всех свободных клеток xij=0,
αij= č;ijс ij,
то план является оптимальным и никакими способами улучшен быть не может. Нетрудно показать, что это теорема справедлива также для вырожденного плана, и некоторые из базисных переменных равны нулю. План обладающий свойством:
č; ij= с ij (для всех базисных клеток) (2.36)
č; ijс ij (для всех свободных клеток) (2.37)
называется потенциальным планом, а соответствующие ему платежи (αi и βj) — потенциалами пунктов Ai и Bj (i=1,...,m; j=1,..., n). Пользуясь этой терминологией вышеупомянутую теорему можно сформулировать так:
Всякий потенциальный план является оптимальным.
Итак, для решения транспортной задачи нам нужно одно - построить потенциальный план. Оказывается его можно построить методом последовательных приближений, задаваясь сначала какой-то произвольной системой платежей, удовлетворяющей условию (2.36). При этом в каждой базисной клетке получиться сумма платежей, равная стоимости перевозок в данной клетке; затем, улучшая план следует одновременно менять систему платежей. Так, что они приближаются к потенциалам. При улучшении плана нам помогает следующее свойство платежей и псевдостоимостей: какова бы ни была система платежей (αi и βj) удовлетворяющая условию (2.36), для каждой свободной клетки цена цикла пересчёта равна разности между стоимостью и псевдостоимостью в данной клетке: γi,ji,j - č;i,j.
Таким образом, при пользовании методом потенциалов для решения транспортной задачи отпадает наиболее трудоёмкий элемент распределительного метода: поиски циклов с отрицательной ценой.
Процедура построения потенциального (оптимального) плана состоит в следующем.
В качестве первого приближения к оптимальному плану берётся любой допустимый план (например, построенный способом минимальной стоимости по строке). В этом плане m+n-1 базисных клеток, где m - число строк, n - число столбцов транспортной таблицы. Для этого плана можно определить платежи (αi и βj), так, чтобы в каждой базисной клетке выполнялось условие:
αij= с ij (2.38)
Уравнений (2.38) всего m+n-1, а число неизвестных равно m+n. Следовательно, одну из этих неизвестных можно задать произвольно (например, равной нулю). После этого из m+n-1 уравнений (2.38) можно найти остальные платежи αi, βj, а по ним вычислить псевдостоимости, č; i,jij для каждой свободной клетки.

Таблица № 2.5

    В1   В2   В3   В4   В5   αi
  А1 č= 7 č= 6     č= 6 α1= 0
  А2   č= 5 č= 4 č= 5   α2= -1
  А3 č= 8   č= 6 č= 7   α3= 1
  А4   č= 6 č= 5   č= 6 α4= 0
  βj   β1= 7   β2= 6   β3= 5   β4= 6   β5= 6  


α4 = 0, =>
β4 =6, так как α4 + β4 = С44 =6, =>
α1 =0, так как α1 + β4 = С14 =6, =>
β3 =5, так как α1 + β3 = С13 =5, =>
β1 = 7, так как α4 + β1 = С41 =7, =>
α2 =-1, так как α2 + β1 = С21 =6, =>
β5 =6, так как α2 + β5 = С25 =5, =>
α3 = 1, так как α3 + β5 = С35 =7, =>
β2 =6, так как α3 + β2 = С25 =7.
Если оказалось, что все эти псевдостоимости не превосходят стоимостей
č; ijс ij,
то план потенциален и, значит, оптимален. Если же хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость больше стоимости (как в нашем примере), то план не является оптимальным и может быть улучшен переносом перевозок по циклу, соответствующему данной свободной клетке. Цена этого цикла ровна разности между стоимостью и псевдостоимостью в этой свободной клетке.
В таблице № 2.5 мы получили в двух клетках č; ijс ij, теперь можно построить цикл в любой из этих двух клеток. Выгоднее всего строить цикл в той клетке, в которой разность č; ij- с ij максимальна. В нашем случае в обоих клетках разность одинакова (равна 1), поэтому, для построения цикла выберем, например, клетку (4,2):

Таблица № 2.6


Теперь будем перемещать по циклу число 14, так как оно является минимальным из чисел, стоящих в клетках, помеченных знаком -. При перемещении мы будем вычитать 14 из клеток со знаком - и прибавлять к клеткам со знаком +.
После этого необходимо подсчитать потенциалы αi и βj и цикл расчетов повторяется.
Итак, мы приходим к следующему алгоритму решения транспортной задачи методом потенциалов:
1. Взять любой опорный план перевозок, в котором отмечены m+n-1 базисных клеток (остальные клетки свободные).
2. Определить для этого плана платежи (αi и βj) исходя из условия, чтобы в любой базисной клетке псевдостоимости были равны стоимостям. Один из платежей можно назначить произвольно, например, положить равным нулю.
3. Подсчитать псевдостоимости č; i,jij для всех свободных клеток. Если окажется, что все они не превышают стоимостей, то план оптимален.
4. Если хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость превышает стоимость, следует приступить к улучшению плана путём переброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой (для которой псевдостоимость больше стоимости).
5. После этого заново подсчитываются платежи и псевдостоимости, и, если план ещё не оптимален, процедура улучшения продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный план.
Так в нашем примере после 2 циклов расчетов получим оптимальный план. При этом стоимость всей перевозки изменялась следующим образом: F0=723, F1=709, F2=Fmin=703.
Следует отметить так же, что оптимальный план может иметь и другой вид, но его стоимость останется такой же Fmin = 703.







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 451. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия