Игры с природой

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 91011 12 13 Следующая ⇒

В рассмотренных ранее задачах соперником игрока А был другой «мыслящий» игрок В. Однако часто таким «соперником» может быть некоторое стечение обстоятельств, неконтролируемое человеком. Выбор стратегии стороной В происходит случайно, совершенно не рассматривая, выгодно это А или нет. Такие ситуации называются играми с природой.
Предположим, что игрок А имеет п альтернатив решения ситуации, которые обозначим . Результат выбора (выигрыш А) зависит от того, как будит развиваться ситуация, на которую этот игрок повлиять ни как не может. Предположим, что возможны m вариантов развития ситуации, которые обозначим . Данные варианты в теории игр называют «Состояниями природы», т.к. в большинстве реальные задачи этого типа связаны с погодными, климатическими, социальными и другими стихийными явлениями.
Допустим, что известен результат для игрока А (выраженный количественно) при каждой альтернатива A_i и развитии ситуации B_j. Обозначим его . Получаем матрицу , которую называют матрицей выигрышей или матрицей потерь, в зависимости от того, максимизируется или минимизируется результат для игрока А.
В соответствии с реальными условиями, существует несколько критериев принятия решений в условиях неопределенности. Для более наглядного описания этих методов, рассмотрим их на примерах. Изучим сначала критерии максимизации результата, когда показатели привлекательности чем больше, тем лучше для А.
ПРИМЕР 1.
Директор торговой фирмы, продающей телевизоры марки «Zarya» решил открыть представительство в областном центре. У него имеются альтернативы либо создавать собственный магазин в отдельном помещении, либо организовывать сотрудничество с местными торговыми центрами. Всего можно выделить 5 альтернатив решения: Успех торговой фирмы зависит от того, как сложится ситуация на рынке предоставляемых услуг. Эксперты выделяют 4 возможных варианта развития ситуации Прибыль фирмы для каждой альтернативы при каждой ситуации представлена матрицей выигрышей (млн. р./год).

	B ₁	B ₂	B ₃	B ₄
А ₁
А ₂
А ₃
А ₄
А ₅

Рассмотрим основные критерии, позволяющие выбирать оптимальную альтернативу для принятия решения.
1) Критерий Лапласа.
Он основан на предположении, что каждый вариант развития ситуации (состояния «природы») равновероятен. Поэтому, для принятия решения, необходимо рассчитать функцию полезности для каждой альтернативы, равную среднеарифметическому показателей привлекательности по каждому «состоянию природы»:
.
Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна. Для примера:

Видно, что функция полезности максимальна для альтернативы А₅, следовательно ее рациональнее всего принять.
2) Критерий Вальда.
Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что скорее всего произойдет наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности (наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный. Для нашего примера: Видно, что наилучшим из наихудших показателей обладает альтернатива А ₂, для нее наибольшее.
3) Критерий максимального оптимизма.
Наиболее простой критерий, основывающийся на идее, что ЛПР, имея возможность в некоторой степени управлять ситуацией, рассчитывает, что произойдет такое развитие ситуации, которое для него является наиболее выгодным. В соответствии с критерием принимается альтернатива, соответствующая максимальному элементу матрицы выигрышей. Для приведенного примера эта величина , поэтому выбираем альтернативу .
4) Критерий Сэвиджа.
Он основан на принципе минимизации потерь, связанных с тем, что игрок А принял не оптимальное решение. Для решения задачи составляется матрица потерь, которая называется матрицей рисков , которая получается из матрицы выигрышей путем вычитания из максимального элемента каждого столбца всех остальных элементов. В рассматриваемом примере эта матрица есть:

	B ₁	B ₂	B ₃	B ₄
А ₁
А ₂
А ₃
А ₄
А ₅

Далее, для каждой альтернативы определяем величины , равные максимальному риску (наибольшее число в каждой строке матрицы рисков) и выбирают ту альтернативу, для которой максимальный риск минимален. В нашем примере: минимально Принимаем альтернативу А ₂.
5) Критерий Гурвица.
Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма» игрока А. Введем некоторый коэффициент a, который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для А исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1-α). Коэффициент доверия a показывает, насколько игрок А может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для А равны, то следует принять α=0,5.
Для реализации критерия определяются наилучшие и наихудшие значение каждой альтернативе по формулам , . Далее, вычисляются функции полезности по формуле:
.
Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.
Предположим, что для нашего примера игрок А достаточно уверен в положительном результате и оценивает вероятность максимального успеха в α=0,7. Тогда:

В соответствии с расчетами игроку А следует выбрать альтернативу А ₃. Если же, например, А не очень уверен в положительном исходе и расценивает его вероятность порядка α=0,2, то функции полезности равны:

Видно, что в этом случае следует принять А ₂, для которого функция полезности максимальна.
Следует отметить, что при α=0, критерий Гурвица переходит в пессимистический критерий Вальда, а при α=1 – в критерий максимального оптимизма.
В случае, если показатель привлекательности по критерию минимизируются (чем меньше, тем лучше для А, например затраты, риск и др.), то критерии принятия оптимального решения несколько меняются. Рассмотрим эти отличия.
Критерий Лапласа определяет оптимальное решение по минимальной функции полезности. Применяя критерий Вальда необходимо вычислять максимальный показатель каждой альтернативы (строки) и принимать альтернативу, где этот показатель минимален. Критерий максимального оптимизма позволяет определить оптимальное решение, соответствующее минимальному элементу матрицы выигрышей (которую в случае минимизации часто называют матрицей потерь). Матрица рисков в критерии Сэвиджа получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы потерь минимального элемента каждого столбца . Для реализации критерия Гурвица вычисляются максимальные и минимальные показатели для каждой альтернативы , и функции полезности рассчитываются по формуле: . Выбирается альтернатива с наименьшей функцией полезности. Рассмотрим пример.
ПРИМЕР 2. Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство (млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды . Выбрать оптимальный проект для строительства используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при . Матрица затрат имеет вид:

	S ₁	S ₂	S ₃	S ₄	S ₅
A ₁
A ₂
A ₃
A ₄

Критерий Лапласа.

Следует выбрать альтернативу А₁.
Критерий Вальда: среди наихудших вариантов α₁=12, α₂=10, α₃=15, α₄=11, наилучший соответствует α₂=10, следовательно принимаем альтернативу А₂.
Критерий максимального оптимизма. Соответствует альтернативе, для которой минимальное.
Критерии Сэвиджа имеет матрицу рисков:

	S ₁	S ₂	S ₃	S ₄	S ₅
A ₁
A ₂
A ₃
A ₄

Максимальные элементы для каждого критерия матрицы рисков равны: β₁=4; β₂=4; β₃=8; β₄=3. Принимаем альтернативу, соответствующую минимальному значению β₄=3, то есть А₄.
В соответствии с критерии Гурвица на уровне , функции полезности равны:

Принимаем альтернативу А ₂ с наименьшей функцией полезности .

Тема 5. Сетевое планирование и управление

22.12.2011, 13:33

Сетевой моделью (другие названия: сетевой график, сеть) называется экономико-компьютерная модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского, производственного и др.), в их логической и технологической последовательности и связи. Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной (матричной) форме, позволяет: во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта; во-вторых, определить наиболее оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ. Сетевая модель и ее элементы Математический аппарат сетевых моделей базируется на теории графов. Графом называется совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества связей, соединяющих вершины, которые называются ребрами. Если рассматриваемые пары вершин являются упорядоченными, т.е. на каждом ребре задается направление, то граф называется ориентированным; в противном случае — неориентированным. Последовательность неповторяющихся ребер, ведущая от некоторой вершины к другой, образует путь. Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий; в противном случае граф называется несвязным. В экономике чаще всего используются два вида графов: дерево и сеть. Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями. Сеть — это ориентированный конечный связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток). Таким образом, сетевая модель представляет собой граф вида «сеть». В экономических исследованиях сетевые модели возникают при моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управления (СПУ). Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п. Основой сетевого планирования и управления является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы. Основные понятия сетевой модели: 1. событие, 2. работа, 3. путь. На рис. 5.1 графически представлена сетевая модель, состоящая из 11 событий и 16 работ, продолжительность выполнения которых указана над работами.

Рис. 5.1. Работа характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i,j), где i — номер события, из которого работа выходит, а j — номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t (i,j). Например, запись t (2,5) = 4 означает, что работа (2,5) имеет продолжительность 5 единиц. К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками (см. работу (6,9)). Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие свершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представлении сетевая модель изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер (i = 1, 2,..., n). В сетевой модели имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное событие (с номером N), в которое работы только входят. Путь — это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины, например, в приведенной выше модели путями являются L ₁ = (1, 2, 3, 7, 10, 11), L ₂ = (1, 2, 4, 6, 11) и др. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают L _Kp, а его продолжительность — t _кр. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ. Cетевая модель имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов. Перед расчетом СМ следует убедиться, что она удовлетворяет следующим основным требованиям: 1. События правильно пронумерованы, т. е. для каждой работы (i, j) i < j (см. на рис. 5.2. работы (4,3) и (3,2)). При невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритм пере нумерации событий, который заключается в следующем: - нумерация событий начинается с исходного события, которому присваивается № 1; - из исходного события вычеркивают все исходящие из него работы (стрелки), и на оставшейся сети находят событие, в которое не входит ни одна работа, ему и присваивают № 2; - затем вычеркивают работы, выходящие из события № 2, и вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа, и ему присваивают № 3, и так продолжается до завершающего события, номер которого должен быть равен количеству событий в сетевом графике; - если при очередном вычеркивании работ одновременно несколько событий не имеют входящих в них работ, то их нумеруют очередными номерами в произвольном порядке. 2. Отсутствуют тупиковые события (кроме завершающего), т. е. такие, за которыми не следует хотя бы одна работа (событие 5 из рис. 5.2); 3. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа (событие 7); 4. Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим (см. путь (2,4,3)).

Рис. 5.2. При невыполнении указанных требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути. Числовые характеристики сетевого графика Для событий рассчитывают три характеристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв. Ранний срок свершения события определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного до рассматриваемого события, причем t _р(1)=0, a t _р(N)= t _Kp(L): t_р(j)= max {t_р(j)+(i,j)}; j=2,…,NПоздний срок свершения события характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должно совершиться событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события: t_n(i)= min {t_n(i)-t(i,j)}; j=2,…,N-1 Этот показатель определяется «обратным ходом», начиная с завершающего события, с учетом соотношения tn(N)=tp(N). Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв R(i):R(i)=t_n(i)-t_p(i) Резерв показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. Для всех работ (i,j) на основе ранних и поздних сроков свершения всех событий можно определить показатели: Ранний срок начала— t_pn(i,j)=p(i); Ранний срок окончания — t_po(i,j)=t_p(i)+t(i,j); Поздний срок окончания — t_no(U)=t_n(j); Поздний срок начала —t_пн(i,j)=t_n(j)-t(i,j); Полный резерв времени — R_n(i,j)=t_n(j)-t_p(i)-t(i,j); Независимый резерв — R_н(i,j)= max {0; t_p(j)–t_n(i)-t(i,j)} =max {0;R_n(i,j)-R(i)-R(j)}.Полный резерв времени показывает, на сколько можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится. Независимый резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие — начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ. Путь характеризуется двумя показателями — продолжительностью и резервом. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Резерв определяется как разность между длинами критического и рассматриваемого путей. Из этого определения следует, что работы, лежащие на критическом пути, и сам критический путь имеют нулевой резерв времени. Резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности общего срока выполнения всех работ. Перечисленные выше характеристики СМ могут быть получены на основе приведенных аналитических формул, а процесс вычислений отображен непосредственно на графике, либо в матрице (размерности N*N), либо в таблице. Рассмотрим последний указанный способ для расчета СМ, которая представлена на рис. 5.1; результаты расчета приведены в табл. 5.1. Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы табл. 5.1. При этом работы следует последовательно записывать в гр. 2: сперва начинающиеся с номера 1, затем с номера 2 и т.д. Таблица 5.1. Расчет основных показателей сетевой модели

К _пр	(i, j)	t (i, j)	t _pн (i, j)= t _p	t _po (i,j)	t _nн(i,j)	t _no(i,j)= t _n	R _n	R _н	К _н
				5=4+3	6=7-3
	(1,2)
	(2,3)								0,67
	(2,4)
	(2,5)								0,44
	(3,7)								0,67
	(4,5)
	(4,6)								0,47
	(4,9)								0,67
	(5,8)								0,78
	(5,10)
	(6,9)								0,38
	(6,11)								0,38
	(7,10)								0,67
	(8,10)								0,78
	(9,10)								0,67
	(10,11)

В первой графе поставим число К _пр, характеризующее количество работ, непосредственно предшествующих событию, с которого начинается рассматриваемая работа.
Для работ, начинающихся с номера «1», предшествующих работ нет. Для работы, начинающейся на номер «k», просматриваются все верхние строчки второй графы таблицы и отыскиваются строки, оканчивающиеся на этот номер. Количество найденных работ записывается во все строчки, начинающиеся с номера «k». Например, для работы (5,8) в гр. 1 поставим цифру 2, так как в гр. 2 на номер 5 оканчиваются две работы: (2,5) и (4,5).
Заполнение таблицы начинается с расчета раннего срока начала работ. Для работ, имеющих цифру «ноль» в первой графе, в гр. 4 также заносятся нули, а их значение в гр. 5 получается в результате суммирования гр. 3 и 4. В нашем случае таких работ только одна — (1, 2), поэтому в гр. 4 в соответствующей ей строке проставим 0, а в гр. 5—0+6=6.
Для заполнения следующих строк гр.4, т. е. строк, начинающихся с номера 2, просматриваются заполненные строки гр. 5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в гр. 4 обрабатываемых строк. В данном случае такая работа лишь одна (1, 2), о чем можно судить по гр. 1. Цифру 6 из гр. 5 переносим в гр. 4 для всех работ, начинающихся с номера 2, т. е. в три последующие строки с номерами (2, 3), (2, 4), (2,5). Далее для каждой из этих работ путем суммирования их значений гр. 3 и 4 сформируем значение гр.5.:
t_po(2.3)=5+6=11
t_po(2.4)=3+6= 9
Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы.
Графы 7 и 6 заполняются «обратным ходом», т. е. снизу вверх. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из гр. 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в гр. 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (см. формулу t _n(N)= t _p(N)). В нашем случае t (N)=33. Затем для этих строчек находится содержимое гр. 6 как разность между гр. 7 и 3 Имеем:
t_po(10.11)=33-9=24.
Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер события, которое непосредственно предшествует завершающему событию (10). Для определения гр. 7 этих строк (работы (5,10), (7,10), (8,10), (9,10)) просматриваются все строчки гр. 6, лежащие ниже и начинающиеся с номера 10.
В гр. 6 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в гр. 7 по обрабатываемым строчкам. В нашем случае она одна — (10,11), поэтому заносим во все строки указанных работ цифру «24». Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строки по гр. 6 и 7.
Содержимое гр. 8 равно разности гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5. Гр. 9 проще получить, воспользовавшись формулой.
Учитывая, что нулевой резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем, что критическим является путь
L_Kp=(1,2,4,5,10,11), а t_кр=33 дня.
Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен одним из двух способов по приводимой ниже формуле:
K_H=(i,j)=t(L_max)-t_kp/t_kp-t_kp=1-R_n-R_n(i,j)/t_kp-t_kp
где t (L_max) — продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i,j);
t_kp — продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.
Коэффициент напряженности изменяется от нуля до единицы, причем, чем он ближе к единице, тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок. Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1. На основе этого коэффициента все работы СМ могут быть разделены на три группы:

1. напряженные (K_H(i,j)>0,8);

2. под критические (0,6<K_H(i,j)< 0,8);

3. резервные (K_H(i,j)<0,6).

В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.
При расчете этих показателей целесообразно пользоваться графиком СМ. Итак, для работ критического пути (1,2), (2,4), (4,5), (5,10), (10,11) Kн=1. Для других работ:
K_н(2,3)=1-(6:(33-(6+9))=1-0,33=0,67
K_н(4,9)-1-(5:(33-(6+3+9))=1-0,33=0,67
K_н(5,8)=1-(2:(33-(6+3+6+9))=1-0,22=0,78 и т.д.
В соответствии с результатами вычислений Кн для остальных работ, которые представлены в последней графе табл. 5.1, можно утверждать, что оптимизация СМ возможна в основном за счет двух резервных работ: (6,11) и (2,5).

Сетевое планирование в условиях неопределенности

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки — минимальная и максимальная.
Минимальная (оптимистическая) оценка t_min(i,j) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) t_mах(i,j) — при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение t _oж оценивается по формуле (при бета-распределении плотности вероятности):
t_ож(i,j)=(3t_min(i,j)+2t_max(i,j))/5.
Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии S²:
S²(i,j)=(t_max(i,j)–t_min(i,j))²/5²=0,04(t_max(i,j)–t_min(i,j))²
На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики СМ, однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом — лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.
Кроме обычных характеристик СМ, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:
1) определить вероятность того, что продолжительность критического пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т;
2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.
Первая задача решается на основе интеграла вероятностей Лапласа Ф(z) использованием формулы:
P(t_kp<T)=0,5+0,5Ф(z),
Где нормированное отклонение случайной величины:
z =(Т - t _Kp)/ S _Kp;
S _Kp — среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути.
Соответствие между z и симметричным интегралом вероятностей приведено в табл. 5.2. Более точно соответствие между этими величинами (когда z вычисляется более чем с одним знаком в дробной части) можно найти в специальной статистической литературе.
При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ.
Для решения второй задачи используется формула:
Т=t_ож(L_kp)+z×S_kp

Таблица 5.2.
Фрагмент таблицы стандартного нормального распределения

z	Ф z	z	Ф z
0,1	0,0797	1,5	0,8664
0,2	0,1585	1,6	0,8904
0,3	0,2358	1,7	0,9104
0,4	0,3108	1,8	0,9281
0,5	0,3829	1,9	0,9545
0,6	0,4515	2,0	0,9643
0,7	0,5161	2,1	0,9722
0,8	0,5763	2,2	0,9786
0,9	0,6319	2,3	0,9836
1,0	0,6827	2,4	0,9876
1,1	0,7287	2,5	0,9907
1,2	0,7699	2,6	0,9931
1,3	0,8064	2,7	0,9949
1,4	0,8385	2,8	0,9963

Кроме описанного способа расчета сетей с детерминированной структурой и вероятностными оценками продолжительности выполнения работ, используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним на вычислительной технике многократно моделируется продолжительность выполнения работ и рассчитывается на основе этого основные характеристики сетевой модели. Большой объем испытаний позволяет более точно выявить закономерность моделируемой сети.
ПРИМЕР. Построение сетевой модели Структура сетевой модели и оценки продолжительности работ (в сутках) заданы в табл. 5.3. Требуется:
а) получить все характеристики СМ;
б) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней;
в) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 95% (т. е. р=0,95).
Три первые графы табл. 5.3. содержат исходные данные, а две последние графы — результаты расчетов по формулам Так, например,
t_ож(i,j)=(3t_min(i,j)+2t_max(i,j))/5;
t_ож(1,2)=(3*5+2*7,5)/ 5=6;
t_ож(2,3)=(3*4+2*6,5)/ 5=5;
S²(i,j)=(t_max(i,j)–t_min(i,j)²/5²=0.04×(t_max(i,j)–t_min(i,j)²;
S²(1,2)=(7,5-5)²/25=0,25;
S²(2,3)=(6,5-4)²/25=0,25.

Таблица 5.3

Работа

Продолжительность

Ожидаемая

Дисперсия

(i,j)	t_min(i,j)	t_max(i,j)	Продолжительность t_ож(i,j)	S²(i,j)
(1.2)		7.5		0.25
(2.3)		6.5		0.25
(2.4)				1.00
(2.5)		5.5		0.25
(3.7)	0.5	3.5		0.36
(4.5)		7.5		0.25
(4.6)		5.5		0.25
(4.9)				1.00
(5.8)		4.5		0.25
(5.10)				1.00
(6.9)				0.00
(6.11)				1.00
(7.10)				1.00
(8.10)				1.00
(9.10)				1.00
(10.11)		10.5		0.25

Получим сетевую модель, аналогичную рассмотренной в п. 5.2.:

Получим сетевую модель, аналогичную рассмотренной в п. 5.2.: Таким образом, ход расчета характеристик модели остается аналогичен рассмотренному ранее. Напомним, что критическим является путь: L_кр=(1,2,4,5,10,11), а его продолжительность равна t_кр=t_ож=33 дня.
Дисперсия критического пути составляет:
S²_Kp=S²(l,2)+S²(2,4)+S²(4,5)+S²(5,10)+S²(10,M)=0,25+1,00+0,25+1,00+0,25=2,75.
Для использования формулы показателя дисперсии необходимо иметь среднее квадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т. е. S_Kp=1,66. Тогда имеем:
Р(t_кр<35)=0,5+0,5Ф{(35-33)1,66}=0.5+0.5Ф(1,2)=0,5+0,5*0,77=0,885
Р(t_кр<30)=0,5+0,5Ф{(30-33)/1,66}=0,5-0,5Ф(1,8)=0,5-0,5•0,95=0,035.
Таким образом, вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет 88,5%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней — всего 3,5%.
Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего в табл. 5.2. найдем значение аргумента z, которое соответствует заданной вероятности 95%. В графе Ф(z) наиболее близкое значение (0,9545•100%) к ней соответствует z =1,9. В этой связи в формуле будем использ

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 91011 12 13 Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 752. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.038 сек.) русская версия | украинская версия