Поиск экстремума функции двух переменных

Точка М₀ (х₀;у₀) наз-ся точкой максимума (минимума) ф-ии z=f(х;у) если сущ-ет окрестность точки М такая, что для всех точек (х;у) из этой окрестности выполняется нер-во: f(x₀;y₀)≥ f(х;у); f(x₀;y₀)≤ f(х;у)

Т.(необх.усл.экстр.) Пусть точка М₀ (х₀;у₀) – есть точка экстремума, дифференцируемой ф-ии z=f(х;у). Тогда частные производные z_x и z_y в этой точке равны нулю

Если частные производные и сами яв-ся дифференцируемыми фун-ми то можно найти такие и их частные производные,которые наз-ся частными производными второго порядка (f`xx, f`xy, f`yx, f`yy)

Т. (достат.усл.экстр.) Пусть ф-ия z=f(x;y):

1. Определена в некоторой окрестности стационарной точки (x₀;y₀) в которой z`<sub>x</sub>=0 и z`_y=0

2. Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f`_xx (x₀; y₀) = A,

f`<sub>xy</sub>(x<sub>0</sub>; y<sub>0</sub>) = f`_yx(x₀; y₀) = B и f`_yy(x₀; y₀) =C

Тогда если =АС-В²˃0, то в точке (x₀; y₀) ф-ия имеет экстремум, причём если А<0 – максимум, если А˃0 – минимум. В случае =АС-В²<0 ф-ия экстремума не имеет.

Если = АС-В²=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Схема исследования ф-ий двух переменных на наличие экстремума:

1. Найти частные производные z`<sub>x</sub> и z`_y

2. Решить систему уравнений z`<sub>x</sub>=0 и z`_y=0 и найти стационарные точки ф-ии.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значение в каждой стационарной точек и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов