Уравнения движения электропривода с учетом упруговязких элементов

Ранее были рассмотрены кинематические схемы и уравнения приведения масс и моментов инерций к одной оси движения без учета упругости передаточных механизмов. В действительности все элементы механической системы электроприво­да обладают упругими свойствами, что в некоторых случаях определяет принципиальное отличие их движения от движения механической системы с жесткими связями. При резком изменении момента сопро­тивления движению на валу рабочей маши­ны из-за упругости соедини­тельного вала не будет мгно­венного изменения момента сопротивления движению на конце гибкого вала, связанного с двигателем, так же при передаче меняющегося момента сопро­тивления движению от рабочей машины к двигателю имеется некоторое за­паздывание, величина которого зависит от упругости соединительного ва­ла.

В реальных передаточных устройствах может быть несколько упругих элементов с вращательным и поступательным движениями, причем жесткость всех этих элементов в общем случае различна. Математическое описание движения такой упругой системы требует составления большого числа урав­нений. Более удобным является составление так называемой расчетной схемы механической части электропривода, в которой выделяются сосредоточенные движущиеся массы, соединенные упругими валами, приведенная (рас­четная) жесткость которых рассчитывается по определенным правилам.

Рассмотрим в качестве примера составление расчетной схемы механи­ческой части электропривода подъемного механизма, кинематическая схема которой по­казана на рисунке (3.3).

 

Рис.3.3 Кинематическая (а) и расчетная (б) схемы механической

части подъемного механизма

 

Здесь двигатель через соединительную муфту, редуктор с двухступенчатой зубчатой передачей, вторую соединительную муфту приводит во вращение барабан, преобразующий вращательное движение в поступательное перемещение груза с массой m_Г со скоростью V через канат с массой m_к. В подъемных установках с большой высотой (глубиной) подъема в переходных режимах на величину динамического усилия оказывает переменная составляющая, как показано выше в уравнении (3.7). Для снижения динамических усилий в подъемно установке применяют (показано на рис.3.3а) систему уравновешивающих канатов, закрепленных одним концом к подъемному сосуду, другим – к барабану. Тогда суммарная масса груза в процессе подъема груза остается неизменной.

Таким образом, на рассматриваемой схеме видно, что в общем случае механическая часть электропривода представляет собой систему связанных масс, движущихся с различными скоростями вращательно или поступательно. При нагружении элементы системы (валы, опоры, зубчатые зацепления, канаты и т. п.) деформируются, так как механические связи не являются абсолютно жесткими. При изменениях нагрузки масса груза имеет возможность взаимного перемещения, определяемого жесткостью каната.

На расчетной схеме (рис.3.2б) моменты инерции и массы движущихся элементов показаны связанными упругими элементами с жесткостями с_i, не имеющими механической инерции. В пределах деформаций упругих механических связей, для которых выполняется закон Гука, их жесткости можно определить с помощью соотношений:

(3.10)

где: M_i,i+1, F_j,j+1 – момент и нагрузка упругой механической связи;

Dφ_i=φ_i-φ_i+1 и Ds_j=s_j-s_j+1 - деформация упругого элемента при вращательном (закручивание) и поступательном (перемещение) движениях элементов.

Массы элементов и жесткости элементарных связей между ними в кинематической цепи привода различны. Определяющее влияние на движение системы оказывают наибольшие массы и наименьшие жесткости связей. Поэтому одной из первых задач при исследовании динамики электроприводов является составление упрощенных расчетных схем механической части, учитывающих возможность пренебрежения упругостью достаточно жестких механических связей и приближенного учета влияния малых движущихся масс.

Расчетную схему (рис.3.2б) можно существенно упростить вследствие малости некоторых ее моментов инерции. Для этого следует малые массы добавить к близлежащим большим, а затем определить эквивалентные жесткости связей между полученными массами. В результате получим трехмассовую систему, представленную на рис.3.4.

Эквивалентные моменты инерции определены через массы элементов полной расчетной кинематической схемы (рис.3.3б) как:

, (3.11)

где J₁₂₃ = J₁+J₂+J₃ , J₄₅ =J₄+J₅, J_2Σ = J₆+J₇+J₈+J₉, m_Σ = m_Г+m_к .

В рассматриваемом примере движущиеся массы соединены упругими связями между грузом и двигателем в виде каната, 3-мя последовательно соединенными упругими элементами, состоящими из вала ротора двигателя со входным валом редуктора, промежуточного вала редуктора и выходного вала редуктора с валом барабана (рис.3.4).

 

Рис.3.4 Расчетная схема трехмассовой системы

 

Коэффициенты жесткости элементов (приведенные коэффициенты жест­кости С_ПР) должны быть эквивалентны реальным коэффициентам жесткости, поэтому при приведении жесткостей механических связей должно выполняться условие равенства запаса потенциальной энергии деформации упругих элементов в приведенной схеме с вращательным движением реальным условиям. Уравнение равенства запаса энергий приведенного элемента при упругой деформации вращательно движущегося реального элемента:

, (3.12)

и при поступательном движении реального элемента:

, (3.13)

где ∆s_j [ м ] - линейная упругая деформация j-го элемента;

∆φ_i – угловая упругая деформация i-го элемента;

∆φ_пр [ рад ]- приведенная угловая упругая деформация эквивалентно­го вала.

С учетом известных соотношений и формулы приведения жесткостей из (3.12) и (3.13) получим как:

(3.14)

Определим приведенные жесткости элементов для расчетной схемы трехмассовой системы, приведенной на рис.3.4:

1) для упругой деформации каната с коэффициентом жесткости с_к:

2) для упругой деформации вала барабана с коэффициентом жесткости с₇₈₉:

.

3) для упругой деформации промежуточного вала с коэффициентом жесткости с₅:

Полные кинематические схемы систем содержат элементы с разными жесткостями и схемами их соединения. Эквивалентные жесткости при последовательном и параллельном соединении элементов находят соответственно по выражениям:

С_э=ΣС_i. (3.15)

В расчетной схеме три последовательно соединенных элемента между массами J₁ и J₂ заменим одним упругим элементом, приведенная жесткость которого c₁₂ определяется из соот­ношения:

В трехмассовой системе, между массами которой есть упругие элементы (валы) с коэффициентами жесткости с₁₂ и с₂₃=с_пр3, на каждую из вращающихся масс действуют движущие момен­ты и моменты сопротивления движению. На первую массу с момен­том инерции J₁ дейст­вует приложенный к ней движущий момент двигате­ля М, которому про­тиводействует момент упругого закручивания вала M₁₂ между первой и второй массами.

Величина этого момента определяется:

(3.16)

где φ₁ и φ₂ - углы закручивания концов упругого вала, а ω₁ и ω₂ - соответствующие им скорости. (Действие на все массы малых моментов вязкого и жесткого трения не учитывается).

Движущим моментом, действующим на вторую массу, является момент упру­гого закручивания М₁₂ , а сопротивление оказывает момент упругого закручивания М₂₃, определяемый аналогично моменту М₁₂:

(3.17)

На 3-ю массу с моментом инерции J₃ действует движущий момент, являющийся моментом упругого закручивания M₂₃, а моментом сопротивле­ния является ,определяемый как приведенный к валу двигателя момент сопротивления движению, создаваемый в рабочей машине – М_см.

Движение трехмассовой механической системы элек­тропривода можно описать на основании (3.2) системой уравнений движения для каждой из вращающихся масс:

(3.18)

На рис.___ представлена структурная схема, соответствующая системе уравнений (3.18).

Рис.3.5 Структурная схема трехмассовой механической системы

 

Управляющим воздействием здесь является электромагнитный момент двигателя М, а возмущением - момент нагрузки М_с3. Регулируемыми переменными могут быть скорости w₁, w₂ и w₃, перемещения φ₁, φ₂ и φ₃, а также нагрузки упругих связей М₁₂ и М₂₃. Структурно механическая часть электропривода представляет собой сложный объект, состоящий из цепочки интегрирующих звеньев, замкнутых перекрестными внутренними обратными связями.

Трехмассовая упругая система при исследовании электромеханических систем автоматизированного электропривода используется при детальном анализе динамики, иначе она сводится к двухмассовой.

Если передаточное устройство между третьей и второй массами яв­ляется жестким c₂₃→∞;, то в нем не действует момент M₂₃, а ω₂=ω₃.

В расчетной схеме двухмассовой упругой системы (рис.3.6) суммарный приведенный момент инерции элементов, жестко связанных с двигателем, аналогично предыдущему обозначен J₁. Суммарный приведенный момент инерции элементов, жестко связанных с рабочим органом механизма, обозначен J₂. Безынерционная упругая связь между этими массами характеризуется приведенной эквивалентной жесткостью с₁₂.

Рис.3.6 Расчетная схема двухмассовой системы

 

Тогда математическое описание движения двухмассовой механической системы электропривода будет:

(3.18)

и соответствующая ей структурная схема будет иметь вид, представленный на рис.3.7.

 

Рис.3.7 Структурная схема двухмассовой системы

 

Электромеханическая система с двухмассовой упругой механической частью представляет собой простейшую модель электропривода, наиболее удобную для изучения влияния упругих механических связей.

Если коэффициент жесткости с₁₂→∞;, то ω₂=ω₁=ω, J=J₁+J₂+J₃, и структурная схема трехмассовой системы преобразуется к схеме одномассовой системы. Такая система обладает свойствами абсолютно жесткой механической системы, описываемой уравнением движения:

и передаточной функцией W(p)= .

Динамические характеристики (временные и частотные) такой системы соответствуют характеристикам идеального интегрирующего звена. При приложении нагрузки M_c=const скорость в такой системе возрастает по линейному закону.