Разделяя переменные, получим

Интегрируя, найдем

или

Заменяя u через , получаем общий интеграл данного уравнения

3₀. Кривая проходит через точку (1,1). Расстояние до любой касательной к этой кривой от начала координат равно абсциссе точки касания. Составить уравнение указанной кривой.

Решение. Пусть точка (х,у) лежит на указанной кривой у=у(х). Касательная к этой кривой, проведенная в точке (х,у), находится от начала координат на расстоянии

которое по условию задачи равно х. Поэтому указанная кривая является решением уравнения

,

или

т.е.

Это однородное уравнение. Решим его, полагая y=xu:

 

Согласно замене , получим y²+x²=Cx. По условию кривая проходит через точку (1,1): 1+1=С, т.е. С=2. Таким образом, уравнение искомой кривой x²+y²=2x, или

D. Ответы.

 

Рекомендуемая литература

 

1. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Высшая математика (задачник). М. Высшая школа, 1993.
2. Выгодский М.Я.: Справочник по высшей математике. М. Просвещение, 2002.
3. Демидович Б.П.: Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Высшая школа, 1986.
4. Ильин В.А, Поздняк Э.Г.: Основы математического анализа. М. Высшая школа, 1994.

6. Кудрявцев Л.Д.: Курс математического анализа. М. Высшая школа, 1998.

1. Кудрявцев Л.Д.: и др. Сборник задач по математическому анализу (ч.1 и 2). М. Высшая школа, 1998.
2. Кузнецов Л.А.: Сборник задач по высшей математике (типовые расчёты). М. Просвещение, 1983.
3. Мантуров О.В.: Матвеев Н.М. Курс высшей математики. М. Высшая школа, 1996.
4. Минорский В.П.: Сборник задач по высшей математике (ч.1 и 2). Наука, 1982.
5. Миносцев В.Б.: Курс высшей математики. М. РИЦ МГИУ, 2001.
6. Щипачёв В.С.: Высшая математика (для экономических специальностей). М. Высшая школа, 2001.