Теорема 8.11) Если предел последовательности 2) Если предел функции Доказательство. 1) Предположим, что последовательность имеет пределом число
Полагая в этом условии Пусть
Полученное противоречие доказывает теорему. 2)Утверждение этой теоремы доказывается вполне аналогично, но оно будет приведено ниже для полноты изложения. Пусть снова функция
Определение 8.4 Последовательность
|
существует, то он единственен, т.е. если 
и если 
, то 
имеет при 
существует, то он единственен, т.е. 
, 
, то 
, а также имеет пределом число 
, 
. Тогда:
, получаем, что при 
. Аналогично, поскольку 
.
. Тогда при 
выполняются условия 
имеет при 
существуют числа 
и 
такие, что при 
выполняется неравенство 
, а при 
выполняется неравенство 
. Тогда положим 
и потребуем, чтобы 
. При этом
Полученное противоречие доказывает теорему.
называется бесконечно малой, если 
. Аналогично, функция 
- бесконечно малая при 
.
