Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то существуетЕсли последовательность не возрастает и ограничена снизу, то существует. Доказательство. Проведем доказательство первого случая. Второй случай совершенно аналогичен. По условию, множество значений, которые принимает последовательность Итак, Теорема 10.2 (К. Вейерштрасс) Если не убывает на и ограничена сверху на, то существует.
|
, ограничено сверху. По теореме 5.1 существует его точная верхняя грань A. Докажем, что 
. Для этого возьмем произвольное 
. По определению А, любое меньшее число, в частности число 
, уже не является верхней гранью множества значений, принимаемых последовательностью 
, или 
. Кроме того, 
, т.к. А – верхняя грань множества значений 
. Но при 
, поэтому 
. Таким образом, для любого 
существует N такое, что для всех 
.
