Теорема 11.1 Существует предел последовательностиДоказательство. Сначала докажем лемму Лемма 11.1. (неравенство Бернулли): Если Доказательство. Используем метод математической индукции. При
Применим неравенство Бернулли, обозначив Теорема 11.2 Имеет место равенство . Доказательство. (НА ЭКЗАМЕНЕ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО ЕГО ЗНАТЬ. ПРИВЕДЕНО ДЛЯ ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ МАТЕМАТИКОЙ)
Обозначим за n целую часть отношения Таким образом, по теореме “о зажатой переменной” 9.3. получаем, что
Обозначим
|
, то 
.
имеем: 
. Предположим, что при 
неравенство верно: 
. Тогда при 
имеем: 
. Неравенство доказано.
Чтобы доказать существование предела 
, рассмотрим последовательность 
. Для членов этой последовательности:
, при этом очевидно, что 
1. Таким образом, 
. Так как 
, то 
, поэтому рассматриваемая последовательность убывает и ограничена снизу. Значит, существует предел 
. Так как 
, то и 
. Следовательно, 
. Таким образом, 
.
. 
. 
. Тогда справедливо неравенство: 
. Перепишем его в виде 
. Тогда 
. При этом 
, 
. В полученном неравенстве левая и правая части стремятся к e, т.к. 
.
. 
. Получаем, что 
. Выражение 
при 
. Обозначив 
получаем, что 
. Тогда 
. Полученное выражение стремится к e при 
, т.к. 
. Теорема доказана.
