Теорема 12.2. (Лемма Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной бесконечной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу◄ 1. Если множество значений, которые принимает последовательность 2. Рассмотрим теперь случай, когда множество значений бесконечно. Так как Определение 12.2. Последовательность
|
конечное, т.е. 
, то хотя бы одно из значений 
, обозначим его 
, она принимает бесконечно много раз, т.е. существует бесконечное множество номеров 
таких, что 
. Поэтому 
, подпоследовательность 
искомая.
- бесконечное ограниченное множество, то по теореме 6.1 существует предельная точка этого множества, равная A. Покажем, что существует последовательность 
такая, что 
. По определению предельной точки, для 
существует номер 
такой, что 
. Положим 
. Существует 
такое, что 
. Точка 
, т.к. 
, а номер 
, что можно сделать, так как в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число элементов этого множества. Далее, 
. Как и раньше, строим 
так, что 
и 
. Продолжая этот процесс, получаем последовательность 
такую, что 
, что означает, что 
.►
называется фундаментальной, если для любого положительного 
существует такое 
, что для всех 
разность значений 
по модулю меньше 
.
