Теорема 12.3 (Критерий Коши для последовательности) Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной

◄Необходимость

То, что последовательность имеет предел, запишем так: . Легко видеть, что . По свойству модулей: . Обозначив , имеем: , т.е. из существования предела последовательности легко следует ее фундаментальность.

Достаточность

Во-первых, из фундаментальности последовательности следует ее ограниченность. Действительно, пусть . Тогда существует такое, что для всех имеет место неравенство . Положим . Тогда для всех , т.е. . Пусть . Из этих неравенств тогда следует, что при имеем: . Положим . Теперь для всех имеет место неравенство , т.е. - ограниченная последовательность.

По теореме 12.2 существует подпоследовательность такая, что она имеет некоторый предел , т.е. . Докажем, что вся последовательность имеет тот же предел, т.е. что , для чего достаточно доказать, что .

У нас доказано, что , что .

Если и если , то , поэтому , что и требовалось доказать. ►

Теорема 12.4 (Критерий Коши для функции) Условие: для любого существует такое , что для любых из разность значений функции в этих точках по абсолютной величине меньше , равносильно тому, что существует предел этой функции при , т.е. . (1)

◄Необходимость

Пусть существует предел . Тогда . Так как , то , . Следовательно, .

Достаточность