Теорема 23.2(М.Ролль) Пусть
Тогда существует точка с ◄Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], она принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m. Если оказалось, что m=M, то это означает, что m=f(x)=M для всех x Если же m Действительно, по условию 3) значения f(a) и f(b) равны друг другу и могут оказаться равны не более, чем одному из чисел m, M. Пусть, например, М=f(c), где с По условию 2), в этой точке существует производная Замечание 1. все условия теоремы Ролля являются существенными. Это означает, что если не выполняется одно из них, а остальные два выполняются, заключение теоремы может оказаться неверным. Примеры. 1) Выполнены условия 2) и 3), не выполнено условие 1). Для всех 2) f(x)= Не выполнено условие 2), условия 1),3) выполнены. На интервале (-1;0): 3) f(x)=x Выполнены первые 2 условия, третье на отрезке [0;1] не выполнено. Всюду на (0;1) имеем
|
(a;b) такая, что 
=0.
- постоянная на [a;b]. Поэтому для всех х 
=0.
M, т.е. m<M, то хотя бы одно из этих значений функция принимает во внутренней точке [a;b].
, т.е. с – точка локального экстремума.
имеем 
, x 
