Вопрос 39. Производные высших порядковЕсли функция Ответ на него такой: нет, не всегда! Можно показать, что функция Теорема 39.1. Пусть Доказательство. Пусть Положим В промежутке С другой стороны, аналогично, получаем Замечание. По аналогии можно доказать следующую теорему. Теорема 39.2. Пусть Например,
|
обладает в некоторой окрестности точки 
частной производной 
, а эта производная обозначается 
. Далее индуктивным образом можно определить производные более высокого порядка. Возникает вопрос: всегда ли 
?
имеет неравные производные 
и 
. Однако имеет место следующая теорема.
определена в открытой области 
и пусть в этой области существуют 
. Пусть 
и 
непрерывны в точке 
. Тогда в этой точке 
числа такие, что область 
до 
и от 
до 
. Пусть 
.
, 
тогда 
.
, по условию теоремы, функция 
имеет производную 
. И, значит, 
(вновь по теореме Лагранжа) 
, где 
, 
.
, где 
, 
.
к 
, получаем, ввиду непрерывности 
, 
. Таким образом, теорема доказана.
определена в открытой области 
и имеет в этой области всевозможные частные производные до -го порядка включительно и смешанные производные 
-го порядка, причем все эти производные непрерывны в 
и т.п.
