Автономные системы и свойства их решенийСистема называется автономной, если в ее правую часть не входит явно независимая переменная: . Решение автономной системы можно рассматривать в пространстве координат , которое принято называть фазовым пространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией). Вообще говоря, любую систему можно сделать автономной, вводя дополнительную фазовую координату – независимую переменную и дополнительное уравнение . Фазовое пространство такой системы принято называть расширенным фазовым пространством.
Свойства решений автономных систем. 1) Если - решение системы, то и тоже решение. . Следствие. Фазовая траектория - это та же фазовая траектория, что и . В самом деле, любая точка первой фазовой траектории является точкой второй фазовой траектории и наоборот.
2) Две фазовых траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают. Пусть две различных фазовых траектории имеют общую точку . Рассмотрим решение . . Следовательно, по теореме Коши . Но - это траектория , сдвинутая на по аргументу. По следствию, обе фазовые траектории являются одной фазовой траекторией.
Следствие. Множество фазовых траекторий автономной системы в фазовом пространстве представляет собой совокупность непересекающихся кривых.
Точка называется точкой покоя (точкой равновесия) автономной системы, если .
3) Если точка - точка покоя, то - решение системы. В самом деле, .
4) Любая фазовая траектория автономной системы есть траектория одного из трех типов: 1) гладкая, не самопересекающаяся кривая, 2) замкнутая гладкая кривая, 3) точка покоя.
|