Балансовые модели (продолжение)
для каждого s 
S, 0 < α < 1 (α; — риск), где f (∆ R -, ∆ X) — ожидаемые потери, определяемые оптимальной стратегией на бесконечном
плановом периоде при заданном текущем состоянии S.
Таким образом, задача выбора при дефиците ресурсов и необходимого объема выпускаемой продукции сводится к задаче поиска минимизации потерь региона, которую можно решить с помощью балансовых моделей и методов
математического программирования.
Рис. 15. 13. Схема материальных потоков
В другом случае используется модель межотраслевого баланса с
учетом затрат на ликвидацию загрязнений. Здесь применяется модель Леонтьева — Форда.
Модель показывает, каким образом материальные потоки, поступающие в экономико-экологическую систему, распределяются затем по разным видам деятельности. Все, что поступает в систему в виде сырья и материалов, либо
преобразуется в готовые изделия, либо идет в отходы производства.
Представление об объемах материальных потоков, поступающих в
окружающую среду, дает следующая условная схема (рис. 15.13),
составленная для города с населением в 1 млн. человек.
На схеме дано изображение трех основных входных потоков (вода,
пища и топливо) и трех выходных потоков (сточные воды, твердые
отходы и загрязнения воздуха), которые являются общими для всех
городов. В этой модели появляются величины, измеренные в натуральных единицах, а именно отходы производства по каждому виду
загрязнителей. Это обстоятельство существенно меняет привычные
свойства модели межотраслевого баланса, в которой все величины
выражены в стоимостной форме.
Основные условия модели Леонтьева — Форда в матрично-векторной форме можно записать следующим образом
, (5.38)
где Х1 - вектор валовых выпусков продукции размерности т,
Х2 - вектор объемов загрязнений, подлежащих ликвидации, размерности n - т,
, 
;
Y1 — вектор конечной продукции размерности n;
Y2— вектор объемов загрязнений, которые в настоящее время не могут быть ликвидированы (например, из-за нехватки средств), размерности n - т,
, 
;
А11= (аij)n-m — матрица прямых затрат (матрица А в первоначальной
модели межотраслевого баланса, которая имеет вид
где а ij, — определяет какой объем i- гoресурса необходим для производства единицы продукции j -й отрасли);
А12=(а iq)m(n-m) — матрица прямых затрат продукта i на уничто-
жение единицы загрязнения вида q,
А21=(а ki)m(n-m) — матрица коэффициентов, характеризующих
количество поступающих в окружающую среду отходов по каждо-
му виду загрязнителей k в расчете на единицу валового выпуска
продукции j каждой из отраслей;
А22=(а kq)(n-m)(n-m)— матрица коэффициентов выброса загряз-
нений k -гo вида при уничтожении единицы загрязнения вида q, т.е.
учитывает вторичный эффект загрязнений.
Перепишем модель Леонтьева — Форда (5.38) в виде:
X 1= A 11 X 1+ A 12 X 2+ Y 1; (5.39)
X 2= A 21 X 1+ A 22 X 2+ Y 2. (5.40)
С помощью этой модели может быть решена задача определе-
ния валовых выпусков продукции отраслей с учетом затрат на лик-
видацию загрязнений, которая была ранее описана, но лишь с пред-
положением, что отходы по каждому виду загрязнителей пропорци-
ональны валовым выпускам продукции отраслей, а затраты на лик-
видацию загрязнений пропорциональны объемам загрязнений, под-
лежащих ликвидации. В этой модели учтены только производственные загрязнения A 12 и вторичные загрязнения А 22. Вектор Х 2+ Y 2
характеризует общие объемы отходов по каждому виду загрязне-
ний, образовавшихся в течение года в результате производственной
деятельности. Загрязнения, которые образуются в сфере конечного
потребления, могут быть отражены в модели также, как это сделано
для производственных загрязнений. В системе уравнений (5.39 -
5.40) неизвестными являются вектор валовых выпусков продукции отраслей Х 1 и вектор подлежащих ликвидации объемов загрязнений
Х 2. Они могут быть найдены, если заданы вектор конечных выпусков
продукции отраслей Y 1 и вектор объемов загрязнений, которые в на-
стоящее время не могут быть ликвидированы Y 2. Но сразу по данной
системе уравнений этого сделать нельзя. Преобразуем эту систему.
Если пренебречь вторичными загрязнениями, связанными с деятельностью предприятий, ликвидирующих загрязнения, т.е. если
считать А 22 = 0, то получим:
X 1= A 11 X 1+ A 12 X 2+ Y 1;
X 2= A 21 X 1+0 - Y 2.
Подставив в первое уравнение значение Х2 получим:
X 1= A 11 X 1+ A 12(A 21 X 1- Y 2)+ Y 1;
X 1= A 11 X 1+ A 12 A21X 1- A 12 Y 2+ Y 1;
(I-A 11 -A 12 A 21) X 1= - A 12 Y 2 +Y 1;
(I-A 11 -A 12 A 21)-1(I-A 11- A 12 A 21) X 1 = (I - A 11 -A 12 A 21)-1(- A 12 Y 2 +Y 1).
Пусть В 11 = (I - А 11 - А12А21)-1 и В 12 = В 11 А 12,
тогда
X 1 = B 11 Y 1 -B 12 Y 2;
X 2 = A 21 (B 11 Y 1 -B 12 Y 2 )-Y 2;
X 2 =A 21 B 11 Y 1 -(A 21 B 12 +I)Y 2.
Обозначим В 21 = А 21 В 11 и В 22 = А 21 В 12 + I,
тогда
Х 2 = В 21 Y 1 — В 22 Y 2.
Итак, мы получили следующую систему уравнений:
X 1 = B 11 Y 1 – B 12 Y 2; (5.41)
X 2 = B 21 Y 1 – B22Y 2.
(5.42)
где для матриц В11, В12, В21 и В22 имеем:
В 11= (I — А 11 — А 12 А 21)-1; В 12 = В 11 А 12;
В21 = А 21 В 11; В22 = А 21 В 12 +I,
где
.
В решении (5.41 — 5.42) вектор (В 11 Y 1) характеризует валовые вы-
пуски продукции отраслей при условии ликвидации всех загрязнений, образовавшихся в течение данного года в результате производственной деятельности (здесь и далее полагаем А22 = 0). Иначе
(В 11 Y 1) — это вектор валовых выпусков продукции отраслей в случае, если бы все образующиеся в течение года загрязнения были бы
ликвидированы; (В 12 Y 2) — вектор потенциальных затрат промежуточной продукции. Промежуточная продукция — это часть всей продукции, представляющая закупки данного вида продукции отраслями-потребителями в качестве исходных материалов для производства
их продукции на ликвидацию не ликвидируемых загрязнений. Этот
вектор является частичной характеристикой обычно не учитываемых
издержек производства. (B 21 Y 1) — вектор потенциальных отходов
производства в случае ликвидации всех загрязнений.
Таким образом, матрица В 11 характеризует затраты промежуточ-
ной продукции в расчете на единицу конечного выпуска продукции
каждой из отраслей с учетом ликвидации всех загрязнений (матрица
полных затрат), а матрица В21 характеризует количество отходов в
расчете на единицу конечного выпуска продукции каждой из отрас-
лей с учетом всех загрязнений.
Модель межотраслевого баланса с учетом затрат на ликвидацию
загрязнений иллюстрирует, насколько сложными становятся хозяй-
ственные взаимосвязи. Сокращение не ликвидируемых загрязнений
Y2 приведет к росту объемов загрязнений, подлежащих ликвидации
Х 2, а это в свою очередь вызовет рост расходов на ликвидацию
загрязнений (А 12 Х 2) и, следовательно, приведет к росту валовых
выпусков продукции отраслей Х 1,что вызовет увеличение объемов
загрязнений (А 21 Х 1).
Уравнения межотраслевого баланса с учетом затрат на ликвидацию загрязнений (5.39 — 5.40) могут быть дополнены ограничения-
ми по ресурсам: во-первых на трудовые ресурсы и во-вторых на
факторы производства, объем вовлечения которых ограничен.
Пусть имеется один вид ограниченного ресурса — трудовые ресурсы. Обозначим вектор прямых затрат труда на единицу валового
выпуска продукции (затрат труда в отрасли в расчете на единицу ее
валового выпуска) через l 1. и вектор прямых затрат труда на ликви-
дацию загрязнений через l 2. Обозначим далее через L ресурсы труда,
тогда
L 1 Х 1 + 1 2 Х 2 = L.
Подставив значения Х 1 и Х 2, получим:
q 1 Y 1 – q 2 Y 2 = L
где q 1 = l 1 В 11+ l 2 В 21 и q 2= l 1 В 12+ l 2 В 22.
Вектор q1 состоит из компонент, характеризующих затраты
труда на производ-ство единицы конечной продукции Y 1 при ус-
ловии ликвидации всех загрязнений, образовавшихся в данном
году. Аналогично q 2 — вектор затрат труда (потенциальных) на ликвидацию единицы не ликвидируемых загрязнений. Уменьшение, Y 2
делает баланс трудовых и прочих ресурсов более напряженным, а
его увеличение — менее напряженным.
Следует, однако, помнить, что помимо ресурсов, воспроизводимых внутри системы и являющихся обычными продуктами производства, существуют также ресурсы, которые вводятся в систему
извне, и их максимальный объем вовлечения ограничен (так называемые ограниченные факторы производства). Характерно, что уро-
вень деятельности ограничен не только трудом, но в зависимости
от выбора продолжительности периода производства также и основными фондами, главными составными элементами которых являются производственные здания и станки, а также землей и многими другими важными ресурсами. Если через В обозначить матриц„
коэффициентов затрат ограниченных ресурсов на единицу валового
выпуска продукции каждой из отраслей и через b — вектор ограни-
ченных ресурсов, то реально достижимый объем выпуска продук-
ции должен отвечать следующему условию
ВХ 1= b.
Наиболее упрощенной модификацией модели Леонтьева — Фор-
да является задача нахождения Х 1 и Y 2 при заданных Y 1 и Х 2. В этом
случае вектор валовых выпусков Х 1 равен:
Х 1= (I - A 11)-1(А 12 Х 2+ Y 1)
и, следовательно, вектор не ликвидируемых объемов загрязнений Y равен
Y 2 =A 21 X 1 +A 22 X 2 – X 2
Чем больше воздействие производства на окружающую среду и
больше средств выделяется для природоохранных целей, тем больше становятся коэффициенты матрицы (А 12 А 21) и, следовательно,
коэффициенты полных затрат В 11. В крайнем предельном случае ко-
эффициенты полных затрат могут стать сколь угодно большими.
Рассмотрение этого крайнего, но теоретически допустимого случая
полезно, так как в различных методах описания межотраслевых взаимосвязей он может давать в итогах значительные расхождения.
Использование модели Леонтьева — Форда для вариантных рас-
четов позволяет получить информацию на макроуровне относитель-
но отраслевой структуры затрат на охрану окружающей среды, вли-
яния их на величину конечного или общего выпуска, изменения
цен в зависимости от предлагаемого уровня загрязнения среды и
других показателей.
Пример. В регионе действуют два предприятия. Они выпускают промежуточную и конечную продукцию. Матрица прямых затрат на производ-ство этой продукции А 11 имеет вид 
. Производство продукции двумя отраслями сопровождается выбросом
загрязнений. Матрица коэффициентов, характеризующих количество поступающих в окружающую среду отходов, в расчете на единицу валового выпуска продукции каждой из отраслей А 21 имеет
вид 
. Предприятия создают очистные сооружения для уничтожения загрязнений. Матрица прямых затрат предприятий на уничтожение единицы загрязнения А 12 имеет вид . Характерно, что в результате деятельности предприятия по уничтожению заг-
рязнений от производства продукции загрязнения не выделяются.
Определить валовый выпуск продукции предприятий Х 1 и объем загрязнений, подлежащих ликвидации, Х 2, если известно, что потребность региона в конечной продукции предприятий Y 1 имеет вид 
, а объем загрязнений Y 2, который в настоящий момент не может быть уничтожен — 
.
