Студопедия — Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях первого порядка
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях первого порядка






Определение: Линейное дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка вида

, (1)

называется неоднородным или неавтономным уравнением. Ему соответствует однородное или автономное д.у.

(2)

которое имеет общее решение

, (3)

Анализ всего семейства решений:

Пусть - начальное условие, тогда . Нулевое начальное условие влечет . Это состояние равновесия системы (нулевое решение ДУ(2)).

При ненулевых начальных условиях - экспоненциальный процесс ( меняется экспоненциально с изменением времени) затухающий при (убывающий до нуля) и возрастающий при .

Прямая называется фазовой прямой.

Неустойчивое состояние равновесия

 

Устойчивое состояние равновесия

 

 

Плоскость (x; ẋ) называется фазовой плоскостью

 

При λ<0 состояние равновесия x*=0 – неустойчиво.

 

При λ>0 состояние равновесия x* – устойчиво.

Стрелка указывает движение изображающей точки во времени.

Случай

(4)

Очевидно, - постоянное решение (4). Это состояние равновесия уравнения (4). Замена переменной в (4) приводит (4) к виду

(5)

но это есть уравнение (2), тогда общее решение уравнения (4) записывается в виде:

 

 

Фазовые прямые имеют вид:

 

 

Общий случай в (1)

 

ДУ (1) решаем методом вариации произвольной постоянной: решение ищем в виде

,

Уравнение для нахождения c(t): (6)

(7)

Тогда общее решение имеет вид:

(8)

Важный пример

Рассмотрим уравнение

Тогда выражение (7) приобретает вид

=

 

Тогда общее решение выглядит так:

 

(9)

Очевидно, что

есть вынужденное, стационарное периодическое решение уравнения (1). При и стационарное решение устанавливается всегда, т.е. и - установившееся асимптотически устойчивое периодическое решение уравнения (1).

Для уравнения (1) решения (8) изображены в неавтономном фазовом «пространстве» - на плоскости

 

 

- время переходного процесса.

Рассмотрим два примера конкретных динамических систем, приводящихся к рассмотренным уравнениям.

 

На рисунке представлена схема конденсатора емкости С, разряжающегося на сопротивление R. В соответствии с законами Кирхгофа, дифференциальное уравнение разряда конденсатора пишется в виде:

или

и, следовательно, описывается экспоненциальным убывающим процессом с временем уменьшения вдвое, равным

t = R C ln 2.

Это время t пропорционально емкости С и сопротивлению R. При начальном заряде q = q0

q (t) = q0 e-t/RC.

 

Следующий пример – торможение парашюта. Пусть по достижении скорости падения u0 парашют раскрылся и тормозит падение пропорционально его скорости. Согласно закону Ньютона,

.

Решение этого уравнения следующее:

.

Из него следует, что начальная скорость v 0(v 0 > 0) экспоненциально замедляется до постоянной скорости спуска, равной mg / h. График этого процесса изображен на рисунке ниже.

 

 
 

До сих пор рассматриваемые нами экспоненциальные процессы носили временной характер, т.е. они менялись экспоненциально с изменением времени.







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 423. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия