Студопедия — Тема 7. Производная по направлению. Градиент
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 7. Производная по направлению. Градиент






Пусть даны функция и точка R 2. Пусть, далее, – направленная прямая, расположенная в плоскости и проходящая через точку (см. рис. 1).

 

Рис. 1

Выберем на этой прямой одно из направлений , где - произвольная точка на прямой (для нее x = x0+Dx, y = y0+Dy). Обозначим через проекцию вектора на направление : , если направление вектора совпадает с направлением и , если направление вектора противоположно направлению .

Частной производной функции в точке по направлению l (это ось с выбранным направлением) называется предел отношения при , если этот предел существует и обозначается . Таким образом,

, .

Из данного определения следует, что если направление совпадает с положительным направлением оси (оси ), то

.

Аналогично вводится понятие производной функции в точке по данному направлению R n).

Теорема 1 (о связи производной по направлению с частными производными). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по любому направлению , причем

, (1)

где и – величины углов, образованных направлением с положительными направлениями осей и .

Так как , то при выполнении условий теоремы 1 справедлива формула

. (1/)

Если функция двух переменных имеет в точке R 2 конечные частные производные, то вектор называется градиентом этой функции в точке и обозначается , где i, j – орты на осях координат Ox и Oy соответственно, т.е.

.

Производная по направлению функции f выражается через вектор градиент следующим образом

, (2)

где – величина угла между векторами и ( является единичным вектором на выбранном направлении). Таким образом, производная по направлению равна проекции градиента на это направление.

Из равенства (2) следует, что если направление совпадает с направлением вектора , то производная функции в точке в этом направлении будет наибольшей (при условии, что ). Наименьшее значение производная по направлению будет иметь, когда вектор градиент направлен в сторону, противоположную выбранному направлению.

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении .

Решение. Функция в окрестности точки имеет частные производные

, ,

которые непрерывны в самой точке . Следовательно, по достаточному условию дифференцируемости функция дифференцируема в точке и ее производную в этой точке по заданному направлению можно найти по формуле (1).

Угол - это угол между направлением и ортом , угол - это угол между направлением и ортом . По формуле косинуса угла между векторами находим

; .

Так как , , то по формуле (1) получаем

.

Пример 2. Найти наименьшее значение производной по направлению функции в точке .

Решение. Производная по направлению в некоторой точке принимает наименьшее значение, когда направление противоположно вектору градиенту функции в этой точке. В формуле (2) в этом случае , т.е.

.

Найдем частные производные функции в точке .

, ; , .

Тогда и наименьшее значение производной по направлению функции в точке есть .







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 1506. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

Йодометрия. Характеристика метода Метод йодометрии основан на ОВ-реакциях, связанных с превращением I2 в ионы I- и обратно...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия