Механические волны. 23 ноября 1999 года с 9.00 до 10.00 часов при ясной погоде и естественном освещении на основании направления старшего следователя прокуратуры Советского

Механические волны

Механическая или упругая волна – это процесс распространения колебаний в упругой среде. Например, вокруг колеблющейся струны или диффузора динамика начинает колебаться воздух – струна или динамик стали источниками звуковой волны.

Для возникновения механической волны необходимо выполнение двух условий – наличие источника волны (им может быть любое колеблющееся тело) и упругой среды (газа, жидкости, твердого вещества).

Выясним причину возникновения волны. Почему частицы среды, окружающие любое колеблющееся тело, тоже приходят в колебательное движение?

Простейшей моделью одномерной упругой среды является цепочка шариков, соединенных пружинками. Шарики – модели молекул, соединяющие их пружины моделируют силы взаимодействия между молекулами.

Допустим, первый шарик совершает колебания с частотой ω. Пружина 1-2 деформируется, в ней возникает сила упругости, меняющаяся с частотой ω. Под действием внешней периодически меняющейся силы второй шарик начинает совершать вынужденные колебания. Поскольку вынужденные колебания всегда происходят с частотой внешней вынуждающей силы, частота колебаний второго шарика будет совпадать с частотой колебаний первого. Однако вынужденные колебания второго шарика будут происходить с некоторым запаздыванием по фазе относительно внешней вынуждающей силы. Другими словами, второй шарик придет в колебательное движение несколько позже, чем первый шарик.

Колебания второго шарика вызовут периодически меняющуюся деформацию пружины 2-3, которая заставит колебаться третий шарик и т.д. Таким образом, все шарики в цепочке будут поочередно вовлекаться в колебательное движение с частотой колебаний первого шарика.

Очевидно, причиной распространения волны в упругой среде является наличие взаимодействия между молекулами. Частота колебания всех частиц в волне одинакова и совпадает с частотой колебаний источника волны.

По характеру колебаний частиц в волне волны делят на поперечные, продольные и поверхностные.

В продольной волне колебание частиц происходит вдоль направления распространения волны.

Распространение продольной волны связано с возникновением в среде деформации растяжения-сжатия. В растянутых участках среды наблюдается уменьшение плотности вещества – разрежение. В сжатых участках среды, наоборот, происходит увеличение плотности вещества –так называемое сгущение. По этой причине продольная волна представляет собой перемещение в пространстве областей сгущения и разрежения.

Деформация растяжения - сжатия может возникать в любой упругой среде, поэтому продольные волны могут распространяться в газах, жидкостях и твердых телах. Примером продольной волны является звук.

В поперечной волне частицы совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны.

Распространение поперечной волны связано с возникновением в среде деформации сдвига. Этот вид деформации может существовать только в твердых веществах, поэтому поперечные волны могут распространяться исключительно в твердых телах. Примером поперечной волны является сейсмическая S-волна.

Поверхностные волны возникают на границе раздела двух сред. Колеблющиеся частицы среды имеют как поперечную, перпендикулярную поверхности, так и продольную составляющие вектора смещения. Частицы среды описывают при своих колебаниях эллиптические траектории в плоскости, перпендикулярной поверхности и проходящей через направление распространения волны. Примером поверхностных волн являются волны на поверхности воды и сейсмические L – волны.

Волновым фронтом называют геометрическое место точек, до которых дошел волновой процесс. Форма волнового фронта может быть разной. Наиболее распространенными являются плоские, сферические и цилиндрические волны.

Обратите внимание – волновой фронт всегда располагается перпендикулярно направлению распространения волны! Все точки волнового фронта начнут колебаться в одной фазе.

Для характеристики волнового процесса вводят следующие величины:

1. Частота волны ν – это частота колебания всех частиц в волне.

2. Амплитуда волны А – это амплитуда колебания частиц в волне.

3. Скорость волны υ – это расстояние, на которое распространяется волновой процесс (возмущение) в единицу времени.

Обратите внимание – скорость волны и скорость колебания частиц в волне – это разные понятия! Скорость волны зависит от двух факторов: вида волны и среды, в которой волна распространяется.

Общая закономерность такова: скорость продольной волны в твердом веществе больше, чем в жидкостях, а скорость в жидкостях, в свою очередь, больше скорости волны в газах.

Понять физическую причину этой закономерности несложно. Причина распространения волны – взаимодействие молекул. Естественно, возмущение быстрее распространяется в той среде, где взаимодействие молекул более сильное.

В одной и той же среде закономерность другая – скорость продольной волны больше скорости поперечной волны.

Например, скорость продольной волны в твердом теле , где Е – модуль упругости (модуль Юнга) вещества, ρ – плотность вещества.

Скорость поперечной волны в твердом теле , где N – модуль сдвига. Поскольку для всех веществ , то . На отличии скоростей продольных и поперечных сейсмических волн основан один из методов определения расстояния до очага землетрясения.

Скорость поперечной волны в натянутом шнуре или струне определяется силой натяжения F и массой единицы длины μ:

4. Длина волны λ – минимальное расстояние между точками, которые колеблются одинаково.

Для волн, бегущих по поверхности воды, длина волны легко определяется как расстояние между двумя соседними горбами или соседними впадинами.

Для продольной волны длина волны может быть найдена как расстояние между двумя соседними сгущениями или разрежениями.

5. В процессе распространения волны участки среды вовлекаются в колебательный процесс. Колеблющаяся среда, во-первых, двигается, следовательно, обладает кинетической энергией. Во-вторых, среда, по которой бежит волна, деформирована, следовательно, обладает потенциальной энергией. Нетрудно видеть, что распространение волны связано с переносом энергии к невозбужденным участкам среды. Для характеристики процесса переноса энергии вводят интенсивность волны I.

Уравнение плоской бегущей волны

Задача: получить уравнение, позволяющее рассчитывать смещение любой точки упругой среды, в которой распространяется волновой процесс, в любой момент времени.

 

Пусть вдоль оси Oz распространяется плоская монохроматическая волна с частотой w: это значит, что вектор скорости волны v направлен вдоль OZ, а волновые фронты перпендикулярны этой оси.

 

 

Пусть смещения точек в плоскости z = 0 происходят по закону

 

где x₀ - амплитуда колебания точек в плоскости z =0;

t - время колебания точек плоскости z = 0.

Тогда зависимость смещения точек, имеющих координату z, будет зависеть от времени следующим образом:

 

где t- время запаздывания, то есть то время, которое потребовалось волновому процессу, чтобы распространиться на расстояние z. Очевидно, что время колебания точек с координатой z меньше времени колебания точек с координатой z = 0 на время запаздывания t.

Уравнение носит название уравнения плоской бегущей волны.

Обратите внимание – уравнение бегущей волны – это функция двух переменных – координаты z и времени t. Зафиксировав координату точки, вы получаете зависимость ее смещения от времени. Зафиксировав время, вы получаете картину мгновенного распределения смещений точек среды, в которой распространяется волна.

Чаще всего уравнение бегущей волны записывают иначе. Преобразуем наше уравнение

Отношение циклической частоты w к скорости волны v обозначили за k – волновое число:

 

Физический смысл волнового числа: волновое число показывает, как изменяется фаза волны при перемещении на 1 м вдоль направления распространения волны.

В связи с этим произведение kz в уравнении бегущей волны называют запаздыванием по фазе или набегом фазы.

Аналогичное уравнение можно записать для случая волн другой формы. Необходимо лишь учесть изменение амплитуды колебания точек по мере удаления от источника колебаний. Например,

для цилиндрической волны

 

где R – расстояние от прямой, являющейся источником волны;

для сферической волны

 

где r – расстояние до точки, являющейся источником колебаний.

Уравнение бегущей волны позволяет установить связь между скоростью, длиной волны и частотой. Смещения точек, находящихся на расстоянии в длину волны, одинаковые:

Значения косинусов для двух различных аргументов будут одинаковы, если аргументы отличаются на 2π. после

С учетом того, что , получаем . Видим, что длина волны λ – это расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду колебания одной частицы.