ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 1

Решить задачу линейного программирования графическим способом и с помощью инструмента «Поиск решения» табличного процессора MS Excel.

Решение:

Систему линейных уравнений вида:

 

принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с и неизвестными. При этом произвольные числа а_ij (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, n) называются коэффициентами системы (коэффициентами при неизвестных), а числа b_i (i=1, 2,..., n) - свободными членами. Такая форма записи алгебраической линейной системы называется нормальной.

Решением называется совокупность чисел x_i (i=1, 2, …, n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество.

Для решения:

 

(3.2)

представим эту систему в матричном виде: AX = B, где А – матрица коэффициентов системы уравнений, Х – вектор неизвестных и В – вектор правых частей.

 

В этом случае неизвестные x₁,x₂, x₃ и x₄ вычисляются по формуле:

,i=1, …, 4

Где ∆ - определитель матрицы A, ∆_i - определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

Методом Крамера (методом вычисления определителей).

Решение можно найти по формулам Крамера:

 

где det А = |А| - определитель матрицы системы (главный определитель), det А_i = |A_i|

(i=1, 2,..., n) - определители матрице, (вспомогательные определители), которые получаются из А заменой i-го столбца на столбец свободных членов В. Линейная алгебраическая система несовместна (не имеет решений), если det А = 0.

 

Рисунок.1 – Формирование вспомогательных матриц

 

Для Реализации этого метода в MS Excel:

1. введём матрицу А и вектор b на рабочий лист.

2. Сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рисунок 1).

3. Чтобы вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку H8 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B2:E5. (рисунок 2)

 

Рисунок 2 – Мастер функций

 

4. Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

H9=МОПРЕД(B7:E10),

H10=МОПРЕД(B12:E15),

H11=МОПРЕД(B17:E20),

H12=МОПРЕД(B22:E25).

В результате в ячейке H8 хранится главный определитель, а в ячейках H9:H12 – вспомогательные.

5. Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку J9 введём формулу =H11/$H$8. Затем скопируем её содержимое в ячейки J10, J11 и J12.

Сделаем проверку решения, для этого подставим в нашу систему полученные значения:

6. В ячейку L9 вводим формулу =B2*$J$9+C2*$J$10+D2*$J$11+E2*$J$12. Затем копируем её содержимое в ячейки L10, L11 и L12, получившиеся в результате вычислений ответы совпали с ответами в исходном примере - Система решена верно.

 

Рисунок 3 – Результаты вычислений

 

Матричный способ решения СЛАУ.

Этот способ достаточно прост. Обе части матричного равенства АХ = В умножим слева на обратную матрицу А^-1:

A^-1AX = A^-1B.

Так как A^-1A = Е, где Е - единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы), то решение системы

X = A^-1В.

То есть для решения системы необходимо найти для матрицы А обратную A^-1 и умножить ее справа на вектор-столбец В свободных членов.

Рассмотрим решение системы (2) матричным способом.

1. Введём матрицу А в ячейки B28: E3.

2. Ячейки диапазона G28: G31 заполняем значениями правых частей уравнений системы (b):

 

 

3. В ячейке B33 чтобы вычислить определитель матрицы А, вызываем Мастер функций и в категории Математические щелкнем на имени функции мопред, которая возвращает величину определителя матрицы. Откроется диалоговое окно Аргументы функции для функции мопред. В поле Массив указываем диапазон ячеек G28: G31.

4. Выделяем диапазон ячеек E33:E36, предназначенный для отображения найденного решения.

5. Поместим курсор в строку формул и вызовем Мастер функций. Выбираем функцию МУМНОЖ, которая возвращает результат умножения матриц и заполняем диалоговое окно Аргументы функции следующим образом:

 

 

6. Фрагмент электронной таблицы, реализующей решение, приведен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Результаты вычислений

Для проверки результатов выполните умножим матрицы коэффициентов при неизвестных системы А на столбец со значениями найденного решения X. В результате должен получиться столбец чисел, отличающихся от значений вектора b на величину погрешности расчета или совпадающих с этими значениями.

7. Выделяем диапазон ячеек G33:G36 и вводим в строку формул

8. = МУМНОЖ(B28:E31;E33:E36) и нажмите комбинацию клавиш Ctrl Shift Enter.

9. Введенная формула преобразуется к виду {=МУМНОЖ(B28:E31;E33:E36)}, а на рабочем листе появится результат проверки решения системы уравнений. Как видно на рисунке 4 система уравнений решена правильно.

 

ЗАДАНИЕ 2

Решить задачу нелинейного программирования графическим способом и с помощью инструмента «Поиск решения» табличного процессора MS Excel. Найти при условии