Студопедия — Равносильность при тождественных преобразованиях
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Равносильность при тождественных преобразованиях






 

При замене одного уравнения другим, более простым часто приходится выполнять тождественные преобразования. Всегда ли при выполнении тождественных преобразований получим уравнение, равносильное данному.

 

Пусть дано уравнение

= , (1)

с множеством допустимых значений неизвестных После выполнения тождественных преобразований в одной или в обеих его частях получили уравнение

= , (2)

с множеством допустимых значений неизвестных Если при этом:

1) то уравнения (1) и (2) равносильны.

2) - множество допустимых значений " расширилось ", тогда уравнение (2) может иметь посторонние для уравнения (1) корни, принадлежащие множеству если таких решений не окажется, то уравнения (1) и (2) равносильны.

3) - множество допустимых значений " сузилось";, тогда в множестве решений уравнения (2) могут не войти решения уравнения (1), принадлежащие множеству если потери решений не произойдет, тогда уравнения (1) и (2) равносильны.

4) с одной стороны, обогащается новыми значениями, а с другой стороны, теряет некоторые из них, тогда уравнение (2) может быть неравносильно уравнению (1) как в силу потери корней, так и приобретения решений, посторонних для уравнения (1).

 

Примеры нарушения равносильности уравнений, вызванных тождественными преобразованиями.

1) (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений уравнения (1):

или

Область допустимых значений уравнения (2):

см. рис. 1.

Рис. 1

 

Тождественное преобразование расширило область допустимых значений - множество значит возможно появление посторонних корней.

Проверим это. Уравнение (1) и (2) имеют корни

Уравнению (1) удовлетворяет только один корень

Уравнению (2) удовлетворяют два корня Причем принадлежит множеству , т. е. как раз тому множеству, на которое расширилось множество Таким образом, в результате тождественных преобразований, произошло расширение области допустимых значений переменной x и появился посторонний корень.

 

 

Обратите внимание на ниже приводимый пример!

В таких примерах абитуриенты и учащиеся очень часто допускают ошибки!

 

2) (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения:

Область допустимых значений при тождественном преобразовании "сузилась", поэтому возможна потеря корней. Проверим, так ли это.

Первое уравнение имеет корни:

Второе уравнение имеет один корень:

Мы получили неравносильные уравнения, причем "потерян" один корень, который как раз и принадлежит разности множеств:

 

Ответ: уравнения не равносильны.

 

3) (1) (2)

(3)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

 

 

Систему неравенств решим методом промежутков (см. рис. 2):

Рис. 2

Область допустимых значений второго уравнения:

Область допустимых значений третьего уравнения:

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) область допустимых значений сузилась, при переходе от уравнения (2) к уравнению (3) область допустимых значений расширилась. Возможна потеря корней в первом случае и появление посторонних при переходе от уравнения (2) к уравнению (3).

Проверим равносильность уравнений.

Уравнение (1) имеет корни:

Уравнение (2) не имеет корней. Уравнение (3) имеет один корень:

Сразу можно сказать, что уравнения не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.

 

Вывод

 

При решении уравнений необходимо следить за изменением множества допустимых значений неизвестного. В случае расширения его следует проверять, не является ли найденное решение посторонним для данного уравнения. В случае сужения необходимо убедиться, не являются ли выпавшие значения неизвестных решениями данного уравнения. Задача нахождения потерянных решений не всегда легко выполнима, поэтому желательно избегать тождественных преобразований, ведущих к сужению множества допустимых значений неизвестных уравнения.

 

Примеры. Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?

9. (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

 

 

Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел:

Произошло расширение области допустимых значений первого уравнения, поэтому возможно появление посторонних корней.

Первое уравнение не имеет корней, так как

Второе уравнение имеет корень:

При расширении области допустимых значений появился посторонний корень

Уравнения не будут равносильными.

 

Ответ: не равносильны.

 

10. (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел:

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась, значит возможно появление посторонних корней. Проверим это.

Первое уравнение имеет корень:

Второе уравнение имеет корень:

Посторонние корни не появились - уравнения равносильны.

 

Ответ: равносильны.

 

11. (1) и (2).

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел:

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась - возможно появление посторонних корней.

Первое уравнение имеет один корень:

Второе уравнение имеет два корня:

Появился посторонний корень:

 

Ответ: не равносильны.


12. (1) и (2).

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения:

Область допустимых значений первого уравнения сузилась, возможна потеря корней. Проверим это.

Первое уравнение имеет два корня:

Второе уравнение имеет один корень:

Произошла потеря корня

Уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.

 

13. (1) и (2).

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения:

Области допустимых значений равны: , значит уравнения равносильны. В самом деле, первое уравнение имеет два корня:

Второе уравнение имеет корни:

 

Ответ: равносильны.

 

14. (1) и (2).

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения находится как решение совокупности двух систем неравенств:

Область допустимых значений второго уравнения находится из одной системы неравенств:

Область допустимых значений сузилась, а поэтому возможна потеря корней, значит уравнения могут быть не равносильны.

 

Ответ: могут быть не равносильны.

 

15. (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения - множество всех действительных чисел:

Область допустимых значений второго уравнения найдем из решения системы неравенств (см. рис. 3):

Рис. 3

Получим множество:

Область допустимых значений сузилась, поэтому возможна потеря корней.

Первое уравнение имеет один корень:

Второе уравнение не имеет корней. Значит, уравнения не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.

 

16. (1) и (2)

 

Решение

 

Область допустимых значений первого уравнения найдем из решения системы неравенств:

Область допустимых значений второго уравнения найдем из решения неравенства методом промежутков (см. рис. 4).

 

Рис. 4

Получим множество:

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась, поэтому возможно появление посторонних корней. Проверим это.

Первое уравнение имеет один корень:

Второе уравнение имеет два корня:

Появился посторонний корень

Значит, уравнения не равносильны.

 

Ответ: не равносильны.

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 661. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия