Равносильность при тождественных преобразованиях
При замене одного уравнения другим, более простым часто приходится выполнять тождественные преобразования. Всегда ли при выполнении тождественных преобразований получим уравнение, равносильное данному.
Пусть дано уравнение = , (1) с множеством допустимых значений неизвестных После выполнения тождественных преобразований в одной или в обеих его частях получили уравнение = , (2) с множеством допустимых значений неизвестных Если при этом: 1) то уравнения (1) и (2) равносильны. 2) - множество допустимых значений " расширилось ", тогда уравнение (2) может иметь посторонние для уравнения (1) корни, принадлежащие множеству если таких решений не окажется, то уравнения (1) и (2) равносильны. 3) - множество допустимых значений " сузилось", тогда в множестве решений уравнения (2) могут не войти решения уравнения (1), принадлежащие множеству если потери решений не произойдет, тогда уравнения (1) и (2) равносильны. 4) с одной стороны, обогащается новыми значениями, а с другой стороны, теряет некоторые из них, тогда уравнение (2) может быть неравносильно уравнению (1) как в силу потери корней, так и приобретения решений, посторонних для уравнения (1).
Примеры нарушения равносильности уравнений, вызванных тождественными преобразованиями. 1) (1) и (2)
Решение
Область допустимых значений уравнения (1): или Область допустимых значений уравнения (2): см. рис. 1. Рис. 1
Тождественное преобразование расширило область допустимых значений - множество значит возможно появление посторонних корней. Проверим это. Уравнение (1) и (2) имеют корни Уравнению (1) удовлетворяет только один корень Уравнению (2) удовлетворяют два корня Причем принадлежит множеству , т. е. как раз тому множеству, на которое расширилось множество Таким образом, в результате тождественных преобразований, произошло расширение области допустимых значений переменной x и появился посторонний корень.
Обратите внимание на ниже приводимый пример! В таких примерах абитуриенты и учащиеся очень часто допускают ошибки!
2) (1) и (2)
Решение
Область допустимых значений первого уравнения: Область допустимых значений второго уравнения: Область допустимых значений при тождественном преобразовании "сузилась", поэтому возможна потеря корней. Проверим, так ли это. Первое уравнение имеет корни: Второе уравнение имеет один корень: Мы получили неравносильные уравнения, причем "потерян" один корень, который как раз и принадлежит разности множеств:
Ответ: уравнения не равносильны.
3) (1) (2) (3)
Решение
Область допустимых значений первого уравнения:
Систему неравенств решим методом промежутков (см. рис. 2): Рис. 2 Область допустимых значений второго уравнения: Область допустимых значений третьего уравнения: При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) область допустимых значений сузилась, при переходе от уравнения (2) к уравнению (3) область допустимых значений расширилась. Возможна потеря корней в первом случае и появление посторонних при переходе от уравнения (2) к уравнению (3). Проверим равносильность уравнений. Уравнение (1) имеет корни: Уравнение (2) не имеет корней. Уравнение (3) имеет один корень: Сразу можно сказать, что уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.
Вывод
При решении уравнений необходимо следить за изменением множества допустимых значений неизвестного. В случае расширения его следует проверять, не является ли найденное решение посторонним для данного уравнения. В случае сужения необходимо убедиться, не являются ли выпавшие значения неизвестных решениями данного уравнения. Задача нахождения потерянных решений не всегда легко выполнима, поэтому желательно избегать тождественных преобразований, ведущих к сужению множества допустимых значений неизвестных уравнения.
Примеры. Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел? 9. (1) и (2)
Решение
Область допустимых значений первого уравнения:
Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел: Произошло расширение области допустимых значений первого уравнения, поэтому возможно появление посторонних корней. Первое уравнение не имеет корней, так как Второе уравнение имеет корень: При расширении области допустимых значений появился посторонний корень Уравнения не будут равносильными.
Ответ: не равносильны.
10. (1) и (2)
Решение
Область допустимых значений первого уравнения: Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел: Область допустимых значений уравнения (1) расширилась, значит возможно появление посторонних корней. Проверим это. Первое уравнение имеет корень: Второе уравнение имеет корень: Посторонние корни не появились - уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.
11. (1) и (2).
Решение
Область допустимых значений первого уравнения: Область допустимых значений второго уравнения - множество всех действительных чисел: Область допустимых значений уравнения (1) расширилась - возможно появление посторонних корней. Первое уравнение имеет один корень: Второе уравнение имеет два корня: Появился посторонний корень:
Ответ: не равносильны. 12. (1) и (2).
Решение
Область допустимых значений первого уравнения: Область допустимых значений второго уравнения: Область допустимых значений первого уравнения сузилась, возможна потеря корней. Проверим это. Первое уравнение имеет два корня: Второе уравнение имеет один корень: Произошла потеря корня Уравнения не равносильны. Ответ: не равносильны.
13. (1) и (2).
Решение
Область допустимых значений первого уравнения: Область допустимых значений второго уравнения: Области допустимых значений равны: , значит уравнения равносильны. В самом деле, первое уравнение имеет два корня: Второе уравнение имеет корни:
Ответ: равносильны.
14. (1) и (2).
Решение
Область допустимых значений первого уравнения находится как решение совокупности двух систем неравенств: Область допустимых значений второго уравнения находится из одной системы неравенств: Область допустимых значений сузилась, а поэтому возможна потеря корней, значит уравнения могут быть не равносильны.
Ответ: могут быть не равносильны.
15. (1) и (2)
Решение
Область допустимых значений первого уравнения - множество всех действительных чисел: Область допустимых значений второго уравнения найдем из решения системы неравенств (см. рис. 3): Рис. 3 Получим множество: Область допустимых значений сузилась, поэтому возможна потеря корней. Первое уравнение имеет один корень: Второе уравнение не имеет корней. Значит, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.
16. (1) и (2)
Решение
Область допустимых значений первого уравнения найдем из решения системы неравенств: Область допустимых значений второго уравнения найдем из решения неравенства методом промежутков (см. рис. 4).
Рис. 4 Получим множество: Область допустимых значений уравнения (1) расширилась, поэтому возможно появление посторонних корней. Проверим это. Первое уравнение имеет один корень: Второе уравнение имеет два корня: Появился посторонний корень Значит, уравнения не равносильны.
Ответ: не равносильны.
|