А.Г.Розенвайн

 

Решение математических задач методами физики

 

А.Г.Розенвайн

 

О применении математических методов в физике написано тысячи томов. Мой доклад посвящен противоположной идее, которая часто бывает плодотворной: решение математических задач с помощью физики.

Эта работа предназначена учителям физики и учителям математики, а также ученикам старших классов школ. Учителя физики увидят свою дисциплину с неожиданной стороны, учителям, математики она даст возможность убедиться в том, что физика носит не только прикладной характер, школьники получат очередное доказательство универсальности фундаментальных законов физики и единства науки.

В работе использованы как известные решения, так и собственные решения автора.

Автор не стремился к решению задач с соблюдением всей строгости математического подхода (начиная с аксиоматики) поскольку это увело бы в сторону от поставленной цели.

 

Задача 1. «Векторы»

Найти сумму векторов , где – площадь грани произвольного тетраэдра, вектор направлен перпендикулярно соответствующей грани вовнутрь тетраэдра.

Решение. Накачаем вовнутрь герметичного сосуда тетраэдрической формы газ. Сила реакции соответствующей грани , где p – давление газа, одинаковое во всем сосуде (закон Паскаля). Поскольку внутренние силы не могут сообщить сосуду ускорения, то . Следовательно .

 

Задача 2. «Вечное движение»

Доказать, что для любой точки, расположенной внутри выпуклого многоугольника по крайней мере одна из проекций на прямые, содержащие стороны многоугольника, находится в пределах стороны многоугольника (включая вершины).

Решение. Изготовим из невесомого материала плоскую коробочку, внутри которой подвесим на невесомых нерастяжимых нитях массивную точку. Поставим многоугольник одной из сторон на горизонтальную плоскость. Если точка проектируется на продолжение этой стороны, то многоугольник опрокинется и станет на смежную сторону.

Поскольку вечное движение многоугольника невозможно, то утверждение, приведенное в условии, доказано.

 

 

Центр масс (ЦМ)

 

Круг задач, использующих ЦМ, весьма широк и этот метод практически узаконен в математике. В качестве примера приведем лишь простейшие случаи.

 

Задача 3.

В проведены отрезки и , и . Отрезки пересекаются в точке . Определить отношения и .

Решение. В вершины треугольника поместим такие точечные массы, чтобы точка L являлась ЦМ стороны ВС, а точка N – ЦМ стороны АС. Для этого , а . Точка Q – ЦМ всего треугольника. Для определения отношения необходимо поместить в точку N массу , после чего искомое отношение 1:1.

Аналогично поместив в точку L массу , найдем .

 

Задача 4.

Пользуясь тем же методом нетрудно доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней пересекаются в одной точке (следствие теоремы существования ЦМ) и делятся этой точкой в отношении 3:1 считая от вершины. Центроид треугольника есть точка пересечения медиан.

 

Задача5. «Система отсчета»

По двум пересекающимся прямолинейным дорогам по направлению к перекрестку движутся два автомобиля с постоянными скоростями и . В определенный момент они удалены от перекрестка на расстояния и соответственно. На каком минимальном расстоянии могут находиться автомобили?

Подсказка. Если перейти в систему отсчета (СО), связанную с одним из автомобилей, задача сведется к определению расстояния между точкой и прямой.

 

Задача 6. «Плоское движение»

Концы отрезка AB скользят по двум взаимоперпендикулярным прямым. На АВ, как на диаметре, построена полуокружность. Определить траекторию произвольной точки Р, принадлежащей полуокружности.

Подсказка. При решении этой задачи полезно использовать понятие мгновенного центра вращения (МВЦ), то есть неподвижной точки, вокруг которой фигура совершает поворот.

Эта точка может находиться, как внутри фигуры, так и вне нее. Простейшим примером МВЦ является точка касания колеса с поверхностью, по которой оно катится. Использование МВЦ позволяет просто определить направление и величину мгновенной скорости произвольной точки движущейся фигуры. Для этого достаточно провести радиус-вектор от МВЦ до рассматриваемой точки, а вектор скорости будет перпендикулярен радиус-вектору. Численное значение скорости определяется произведением угловой скорости вращения фигуры на длину радиус-вектора.

 

Решение. Дополним полуокружность до полной окружности. Т.к. направляющие a и b, по которым скользят концы диаметра окружности, взаимноперпендикулярны, окружность пройдет через точку пересечения направляющих. Найдем МВЦ. Для этого через точки А и В проведем перпендикуляр к прямым a и b соответственно С – точка пересечения этих перпендикуляров принадлежит окружности и является МВЦ фигуры. Т.к. ОАСВ – прямоугольник, ОС также является диаметром окружности. Поэтому – прямоугольный и вектор скорости точки Р направлен в сторону начала координат. Это направление сохраняется для произвольного положения отрезка АВ. Таким образом, точка Р движется по прямой проходящей через точку О.

 

Задача 7. «Равновесие»

В данном остроугольном треугольнике найти точку, для которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна.

Физическое решение этой задачи базируется на одной из основных теорем механики: устойчивому равновесию системы соответствует минимум потенциальной энергии.

Решение. Просверлим в вершинах треугольника расположенного на горизонтальном столе отверстия. Через каждое из отверстий пропустим по нити, связав их верхние концы в одной точке. К свободным концам подвесим равные массы. Идеальная система займет положение, соответствующее минимуму потенциальной энергии. А это определяет минимум суммы длин тех частей нитей, которые расположены на столе. С другой стороны равновесие узелка под действием трех равных по величине сил натяжения нитей возможно только при условии, что векторы этих сил образуют друг с другом углы равные . Таким образом, искомой является точка, из которой все стороны треугольника видны под равными углами (точка Торричелли).

 

Задача 8. «Момент инерции»

В данном остроугольном треугольнике найти точку, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника минимальна.

Решение. Разместим в вершинах треугольника одинаковые точечные массы и рассмотрим момент инерции фигуры относительно оси перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через произвольную точку К.В соответствии с теоремой Гюгенса-Штейнера момент инерции плоской фигуры относительно произвольной оси, превышает момент инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс фигуры. Таким образом, искомая точка является центроидом треугольника.

 

Задача 9. «Принцип Ферма и закон Снелиуса»

Спасателю, который находится на некотором расстоянии от края бассейна, необходимо оказать помощь пловцу в бассейне. Скорость , с которой спасатель может плыть, меньше его скорости его бега по берегу . По какой траектории должен двигаться спасатель, чтобы достичь потерпевшего в кратчайшее время?

Решение. Очевидно, что и по берегу и в воде спасателю выгоднее всего двигаться по прямолинейным траекториям. Существенным является выбор точки на бортике бассейна, из которой спасателю следует прыгнуть в воду. Задача становится аналогичной явлению преломления света на плоской границе раздела двух сред. В этом случае работают как принцип Ферма, так и закон Снелиуса. С помощью последнего просто определить углы, которые образуют прямолинейные участки траектории движения спасателя с краем бассейна.

 

Интересно, что с помощью простой механической модели можно показать, что закон Снелиуса следует из принципа Ферма. Для этого границу раздела двух сред (край бассейна) можно представить прямым гладким стержнем бесконечно малой толщины. Стержень располагаем на горизонтальном столе, надеваем на него колечко, к которому привязываем две нитки. Свободные концы ниток пропускаем через отверстие в столе, расположенные в нахождения спасателя и пловца. К этим концам привязываем грузы, массы которых обратно пропорциональны соответствующим скоростям. Исходя из того, что для равновесия системы проекции сил натяжения нитей на направления стержня должны быть равными по величине и направленными в противоположные стороны, получим закон Снелиуса. А условие минимума потенциальной энергии аналогично принципу Ферма.

 

Задача 10.

Из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьшим периметром обладает тот, вершины которого совпадают с основаниями высот данного треугольника.

Решение. Изготовим остроугольный треугольник из гладких тонких стержней, на каждый из которых наденем по колечку. Проденем через все колечки упругую нить, растянем ее немного, а затем свяжем концы между собой. Равновесие будет достигнуто при минимуме потенциальной энергии деформации, что соответствует наименьшему растяжению нити (минимальной ее длине). С другой стороны, проекция сил натяжения на направления каждого из стержней должны быть уравновешены. Учитывая, что все силы натяжения, действующие на колечки, равны по модулю, приходим к заключению, что на каждый стержень действует сила перпендикулярная данному стержню. Поскольку под действием внутренних сил треугольник не должен вращаться, сумма моментов всех сил натяжения относительно произвольной точки должна равняться нулю. Подсчитаем моменты этих сил относительно одной из вершин. Пусть это будет вершина В.

Во-первых, моменты сил и компенсируют друг друга. Во-вторых, моменты сил и равны между собой (, , , ). Таким образом, моменты сил и относительно вершины В также скомпенсированы. Следовательно, при отсутствии вращения относительно вершины В момент силы должен быть равен 0.

А это возможно лишь в том случае, если ВV является высотой треугольника. Аналогично доказывается, что точки U и W – основание высот данного треугольника.

 

Автор использовал лишь некоторые из идей соответствующих теме доклада, а также не стремился иллюстрировать каждую из приведенных идей на большом количестве задач.