Монотонные функции

 

Функция f строго возрастает (возрастает) на множестве Х:

Функция f возрастает (не убывает) на множестве Х:

Функция f строго убывает (убывает) на множестве Х:

Функция f убывает (не возрастает) на множестве Х:

На показанном на рисунке графике функция y = f (x), возрастает на каждом из промежутков [ a; x ₁) и (x ₂; b ] и убывает на промежутке (x ₁; x ₂). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ a; x ₁) и (x ₂; b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x ₁ < x ₂ – корни этого уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x ₁) = f (x ₂) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

1. Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

2. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

3. Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

4. Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.

5. Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.

6. Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f ⁿ также возрастает.

7. Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Ø Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

Ø Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:

Если для любого (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b) то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D.

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

№15Локальный экстремум. Достаточные критерии локальных экстремумов.

Экстре́мум- максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Достаточное условие точки локального экстремума.

· 1) Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные. Тогда при условии является точкой строгого локального максимума. А если то является точкой строгого локального минимума.Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке

· Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке. Тогда при условии и является точкой локального максимума. А если и то является точкой локального минимума.

· Пусть функция дифференцируема раз в точке и, а.

Если чётно и, то - точка локального максимума. Если чётно и, то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

№17Теоремы о среднем значении.

 

 

 

№18.Формула Тейлора.

См в лекции.

 

№19.Раскрытие неопределённостей с помощью формулы Тейлора и правила Лопиталя-Бернулли.