Переходные процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами
В этих цепях характеристическое уравнение имеет второй порядок, следовательно, будет два корня и две произвольные постоянные в свободной составляющей. Самое главное это то, что у квадратного уравнения есть 3 типа корней (вещественные различные, вещественные одинаковые и пара комплексно-сопряжённых), поэтому вид свободных составляющих в разных цепях получается различным. Рассмотрим возможные варианты на простейших примерах. Пример:
1) iL(0_) = 0, uc(0_)=0, 2) i пр = 0, uR пр = iпрR = 0 uC пр = E, uL пр = 0 3) Будем искать ток в цепи. Тогда надо иметь два начальных условия: i (0) и i ΄(0). Для цепи после коммутации: ,
В данной схеме все 3 способа получения характеристического уравнения имеют одинаковую трудоёмкость. , , , . В зависимости от величины подкоренного выражения получаются разные типы корней. Если , то подкоренное выражение равно нулю, и следовательно получим . Из выражения (*) видно, что это получается при некотором «критическом» значении сопротивления . Если же R > Rкр то подкоренное выражение положительно, и получим два вещественных различных корня. Если R < Rкр, под корнем будет отрицательное число, и получим пару комплексно сопряжённых корней. 1) R > Rкр (два вещественных различных корня) и тогда решение для тока запишется в виде: , , и при t = 0 получаем два уравнения для расчёта произвольных постоянных: Из (1): , и подставляя в (2): График проще построить по частям (принуждённая составляющая и каждое слагаемое свободной составляющей, а затем сложить). Говорят, что это апериодический процесс. Аналогично можно получить выражения и графики для напряжения на электродах:
2) R = Rкр , при Графики имеют в этом случае точно такой же вид, как и в предыдущем случае, но в первом случае процессы идут медленнее, чем во втором. Этот случай называется критическим переходным процессом.
3) R < Rкр , , т.е. при α→ 0 ωc стремится к резонансной частоте данной цепи. Решение запишется в виде: (классический метод) (1) в (2): (1)/(3): , из (3) Видно, что в данном случае свободная составляющая представляет собой затухающую во времени синусоиду. Такой переходной процесс называется колебательным или периодическим, и график его проще построить так: симметрично относительно принуждённой составляющей строим график амплитуды свободной составляющей (график огибающей процесса), дальше в график огибающей вписывают синусоиду с её начальной фазой и периодом свободных колебаний. , - коэффициент затухания, - частота свободных колебаний. Рассматривать цепи более высокого порядка смысла нет, потому что у любого уравнения корни могут быть трёх видов, а для каждого типа корней мы свободную составляющую уже получили.
Вопрос 18.
|