Схема Бернулли

Повторные испытания – это последовательное проведение n раз одного и того же опыта или одновременное проведение n одинаковых опытов. Например, при контроле уровня надежности прибора могут либо проводить n испытаний с одним и тем же прибором, если после отказа полностью восстанавливают его исходные свойства, либо ставить на испытания n опытных образцов этого прибора, которые считают идентичными.

Определение. Схемой Бернулли (или последовательностью независимых одинаковых испытаний, или биномиальной схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую следующим условиям:

1) при каждом испытании различают лишь два исхода: появление некоторого события A, называемого „успехом", либо появление его дополнения , называемого „неудачей";

2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в k -м испытании не зависит от исходов всех испытаний до k -гo;

3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна

.

Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим q, т.е.

Пример. Последовательное подбрасывание n раз симметричной монеты (здесь успехом является появление „герба" с вероятностью р = 1/2) или последовательное бросание n раз игральной кости (здесь успехом можно считать, например, появление шестерки с вероятностью р = 1/6). Эти две реальные схемы испытаний являются примером идеального соответствия схеме испытаний Бернулли.

Теорема. Вероятность P _n (k) того, что в n испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно к успехов, определяется формулой Бернулли

Доказательство. Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, состоящей из п букв „У" и „Н", причем буква „У" на i -м месте означает, что в i -м испытании произошел успех, а „Н" – неудача. Пространство элементарных исходов Ω состоит из 2 n исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. Каждому элементарному исходу ω = УНН...У можно поставить в соответствие вероятность P(ω) = P(УНН...У). В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем , если в n испытаниях успех „У" имел место i раз, а неуспех „Н", следовательно, n – i раз. Событие Ak происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход ω, в котором i = k. Вероятность любого такого элементарного исхода равна . Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить k букв „У" на n местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно . Так как Ak есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем искомую формулу для вероятности.

Следствие. Вероятность появления успеха (события А) в n испытаниях не более k ₁ раз и не менее k ₂ раз равна:

Следствие. В частном случае при k ₁ = 1 и k ₂ = n получаем формулу для вычисления вероятности хотя бы одного успеха в n испытаниях: .

При больших значениях числа испытаний n использование формулы Бернулли затруднительно в вычислительном плане. Здесь существенную помощь могут оказать приближенные формулы.

Пусть число испытаний n по схеме Бернулли „велико", а вероятность успеха р в одном испытании „мала", причем „мало" также произведение . Тогда Р_n (k) определяют по приближенной формуле

называемой формулой Пуассона. Совокупность вероятностей называют распределением Пуассона. Формула Пуассона справедлива также для числа неудач, но только в том случае, когда „мало" .

Если в схеме Бернулли число испытаний n „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и q неудачи, то для всех к справедлива приближенная формула

называемая локальной формулой Муавра – Лапласа, где

,

Функцию называют плотностью стандартного нормального (или гауссова) распределения.

Если число n испытаний по схеме Бернулли „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и q неудачи, то для вероятности того, что число успехов к заключено в пределах от k ₁ до k ₂, справедливо приближенное соотношение называемое интегральной формулой Муавра – Лапласа,

где

, ,

Функцию Ф(х) называют функцией стандартного нормального (или гауссова) распределения.

Определение. Функцию

называют интегралом Лапласа.

Используя интеграл Лапласа, интегральную формулу Муавра – Лапласа можно записать в виде

Значения функций , , Ф и приведены в таблицах.