Пропускная способность канала

Важнейшей характеристикой канала являетсяся его пропускная способность С, которая определяется как наибольшая возможная скорость передачи информаци по данному каналу

С= υ_x*max{I(y,x)},

где υ_x- предельная скорость передачи по каналу элементарных сигналов;

max{I(y,x)} – max возможное значение среднего количества информации, содержащееся в одном символе принятого сигнала.

Количество информации I(y,x), переносимое одним символом, равно уменьшению степени неопределённости нашего знания о передаваемом сигнале в результате приёма. Неопределённость не устраняется полностью, так как принятый сигнал может оказаться искажённым помехой,

т.е. I(y,x)=H(x)-H(y/x),

где H(x)-энтропия источников сигналов, характеризующая среднюю неопределённость передаваемого сигнала до приёма;

H(y/x) – средняя условная энтропия ансамбля сигналов х при известных, принятых сигналах у.

Так как ищется max{I(y,x)}, эта величина не зависит от конкретного источника, поэтому пропускная способность зависит исключительно от вида канала.

1. Модуляция сигналов с использованием гармонической несущей. Спектры модулированных сигналов.

 

Основным видом несущих сигналов являются гармонические колебания:

u(t) = U×cos(t+),

которые имеют три свободных параметра: U,  и . В зависимости от того, на какой из данных параметров переносится информация, различают амплитудную (АМ), частотную (ЧМ) или фазовую (ФМ) модуляцию несущего сигнала. Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны, поскольку изменяют аргумент функции косинуса, и их обычно объединяют под общим названием - угловая модуляция (angle modulation). В каналах передачи цифровой информации получила также распространение квадратурная модуляция, при которой одновременно изменяются амплитуда и фаза несущих колебаний.

При использовании в качестве несущих сигналов периодических последовательностей импульсов свободными параметрами модуляции могут быть амплитуда, длительность, частота следования импульсов и фаза (положение импульса относительно определенной точки тактового интервала). Это дает четыре основных вида импульсной модуляции: АИМ, ДИМ, ЧИМ и ФИМ.

В качестве несущих сигналов можно использовать не только периодические колебания, но и стационарные случайные процессы. В качестве модулируемых параметров случайных сигналов используются моменты случайных процессов. Так, например, модуляция второго момента случайных последовательностей (модуляция по мощности) представляет собой аналогию амплитудной модуляции.

Определим спектр простейшего непериодического сигнала – прямоугольного импульса. Электрический импульс – это напряжение или ток, действующие в течение короткого промежутка времени, называемого длительностью импульса. Для удобства анализа частотных свойств импульсов их обычно идеализируют, считая совпадающими по форме с простыми геометрическими фигурами: прямоугольный, трапециидальный, треугольный, пилообразный и т.д.

Наиболее часто в вычислительной технике для передачи данных используется прямоугольный импульс, внешний вид и основные параметры которого приведены на рис. 6.

Рис. 6. Прямоугольный импульс

 

Аналитически во временном представлении импульс описывается функцией

Для определения спектра этого импульса подставим его аналитическое описание в формулу спектра непериодического сигнала:

Воспользовавшись формулой Эйлера

получим .

Иногда в радиотехнической литературе это выражение записывают так

.

Модуль этой функции, т.е. амплитудный спектр определяется выражением

.

При , , при , .

Спектр прямоугольного импульса приведен на рис. 7.

 

Рис. 7. Спектр прямоугольного импульса

Спектр прямоугольного импульса сплошной и простирается от 0 до , имеет тенденцию к затуханию. Однако разумно предположить, что частоты выше некоторых можно не учитывать, т.к. их вес в форме прямоугольного импульса становится малым. В качестве критерия выбора ширины спектра используется энергетический критерий, согласно которому выбирается так, чтобы энергия отсеченной части была пренебрежимо мала по сравнению с энергией внутри интервала . Для нахождения по этому критерию практической ширины спектра используется равенство Парсеваля, связывающее энергию сигнала с энергией спектра

.

Полагая значимую долю энергии равной kE (коэффициент k<;1, но достаточно близок к 1) практическая ширина спектра определяется из равенства

,

где w_c - частота среза.

В зависимости от выбранной частоты среза большая или меньшая доля энергии импульса будет сохраняться. На рис. 8 приведен график зависимости сохраняемой энергии импульса от величины .

Рис. 8. Зависимость сохраняемой энергии от величины

Для практики передачи сигналов достаточно, чтобы передавалось 96% от максимальной энергии импульса. Поэтому достаточно взять равным 2, т.е.

.

Отсюда линейная частота среза по этому критерию равна

.

Пример. Длительность прямоугольного импульса равна 20 нс. Определить требующуюся полосу пропускания для данного импульса.

По формуле находим .

1. Циклические помехоустойчивые коды.

 

Циклические коды (ЦК) составляют множество многочленов Вi(Х) степени n -1 и менее (до r = n - k, где r - число проверочных символов), кратных порождающему (образующему) полиному G(Х) степени r, который, в свою очередь, должен быть делителем бинома X n + 1, т. е. остаток после деления бинома на G(X) должен равняться нулю.

Учитывая, что ЦК принадлежат к классу линейных, групповых кодов, сформулируем ряд основных свойств, им присущих.

1. Сумма разрешённых кодовых комбинаций ЦК образует разрешённую кодовую комбинацию

Bi(X) Bj(X) = Bk(X).

2. Поскольку к числу разрешённых кодовых комбинаций ЦК относится нулевая комбинация 000 ... 00, то минимальное кодовое расстояние dmin для ЦК определяется минимальным весом разрешённой кодовой комбинации: Dmin = Wmin.

3. Циклический код не обнаруживает только такие искажённые помехами кодовые комбинации, которые приводят к появлению на стороне приёма других разрешённых комбинаций этого кода из набора Ν0.

4. Значения проверочных элементов r = n - k для ЦК могут определяться путём суммирования по модулю 2 ряда определённых информационных символов кодовой комбинации Аi(Х). Например, для кода Хемминга (7,4) с порождающим полиномом G(X)=X3+Х+1 алгоритм получения проверочных символов будет следующим [3]:

r1 = i1 i2 i3;

r2 = i2 i3 i4;

r3 = i1 i2 i4;

Эта процедура свидетельствует о возможности "поэлементного" получения проверочной группы для каждой кодовой комбинации Аi(Х). В соответствии с (4.14) могут строиться кодирующие устройства для ЦК.

5. Как было показано на примере в подразделе 1.2, умножение полинома на X приводит к сдвигу членов полинома на один разряд влево, а при умножении на Xr, соответственно, на r разрядов влево, с заменой r младших разрядов полинома "нулями". Умножение полинома на X свидетельствует о том, что при этой процедуре X является "оператором сдвига". Деление полинома на X приводит к соответствующему сдвигу членов полинома вправо с уменьшением показателей членов на 1. Процедура сдвига позволяет к исходной кодовой комбинации Аi(Х), после домножения её на Xr, дописать справа r проверочных символов.

6. Поскольку разрешённые кодовые слова ЦК Bi(X) без остатка делятся на порождающий полином G(X) с получением итога в виде информационной комбинации Аi(Х), то имеется возможность формировать Bi(X) на стороне передачи (кодирующее устройство) простым методом умножения.

Два последних свойства ЦК позволяют осуществить построение кодеров ЦК двумя методами: методом умножения и методом деления полиномов. Рассмотрим достоинства и недостатки этих методов с учётом вариантов построения декодеров ЦК, соответствующих этим методам.

Метод умножения позволяет при формировании разрешённых кодовых комбинаций по алгоритму (4.2) использовать любой порождающий полином, лишь бы его максимальная степень была равна числу необходимых проверочных символов r.

Однако этот метод обладает двумя существенными недостатками.

Во-первых, при формировании ЦК методом умножения в полученной комбинации Bi(X) в явном виде не содержатся информационные символы. Код получается неразделимым с "перетасованными" информативными и проверочными символами, что затрудняет его декодирование, так как это приводит к необходимости применять метод максимального правдоподобия в декодирующем устройстве (ДУ).

Метод максимального правдоподобия (ММП) предполагает при исправлении ошибок принимаемую кодовую комбинацию отождествлять с той разрешённой, к которой принятая находится ближе всего. При таком непосредственном способе декодирования в памяти запоминающего устройства (ЗУ) декодера необходимо хранить все разрешённые кодовые комбинации N0, что требует на стороне приёма больших объёмов ЗУ и большого времени обработки при декодировании. Эти обстоятельства являются вторым недостатком метода умножения при кодировании ЦК.

Исследования показывают [5 - 8], что хороший циклический корректирующий код с кратностью исправляемых ошибок gu ≥ 5 при относительной скорости кода Вк ≥ 0,5, т. е. коэффициенте избыточности к ≤ 0,5, должен иметь число информационных символов k ≥ 40. Это значение и приводит к техническим трудностям при процедуре декодирования по ММП, сводящейся к сравнению принятой кодовой комбинации со всеми N0 разрешёнными.

Для примера определим время декодирования Тдк принятой кодовой комбинации, если число информационных символов в ней k = 40 и для сравнения используется ЭВМ со скоростью 107 операций в секунду. Будем полагать, что для сравнения принятой кодовой комбинации с одной из разрешённых достаточно одной операции на ЭВМ. Тогда для проведения N 0 = 2k = 240 сравнений потребуется время декодирования Как видно из примера, задача декодирования простым перебором и сравнением непосильна даже для современных ЭВМ.

В соответствии с этим, основным направлением в теории кодирования является поиск таких кодов и алгоритмов их формирования и обработки, для которых не требуется хранение в ЗУ разрешённых кодовых комбинаций.

Синдромный метод декодирования (СМД) предполагает в ДУ принятую кодовую комбинацию поделить на порождающий полином. Если принятая комбинация является разрешённой, т. е. не искажена помехами в канале связи, то остаток от деления будет нулевым. Ненулевой остаток свидетельствует о наличии в принятой кодовой комбинации ошибок, остаток от деления и называется синдромом.

Термин "синдром" заимствован из медицинской практики (от греч. вместе бегущий) и означает сочетание (комплекс) симптомов болезни, характерное для определённого заболевания. В теории кодирования синдром, который также называют опознавателем ошибки, обозначает совокупность признаков, характерных для определённой ошибки. Для исправления ошибки на стороне приёма необходимо знать не только факт её существования, но и её местонахождение, которое определяется по установленному виду вектора ошибки z(X).

После передачи по каналу с помехами принимается кодовое слово Bi' (X) = Bi(X) + z(X), (4.16)

где Bi(X) - передаваемая кодовая комбинация; z(X) — полином (вектор) ошибки,

имеющий степень от 1 до n -1.

При декодировании принятое кодовое слово делится на G(X) где остаток от деления Si(X ) и является синдромом. Если при делении получается нулевой остаток Si(X) = 0, то выносится решение об отсутствии ошибки z(X) = 0. Если остаток (синдром) ненулевой Si(X)≠ 0, то выносится решение о наличии ошибки и определяется шумовой вектор (полином) z(X), а затем -

передаваемое кодовое слово, поскольку из (4.16) следует Bi(X) = Bi' (X) + z(X). (4.18)

Всякому ненулевому синдрому соответствует определённое расположение (конфигурация) ошибок. Взаимосвязь между видом синдрома и местоположением ошибочного символа находится довольно просто. Достаточно в любую разрешённую кодовую комбинацию ввести ошибку и выполнить деление на G(X ). Полученный остаток (4.17) - синдром и будет указывать на ошибку в этом символе. В качестве примера для ЦК Хемминга (7,4), позволяющего исправлять однократную ошибку при dmin = 3 (см. табл. 1), взаимосвязь между синдромом и ошибочным символом для двух возможных порождающих полиномов кода (7,4) приведена в табл. 2.

Пользуясь этой таблицей, можно найти местоположение ошибки и исправить её. Для параметров рассмотренного ранее примера 1, где была показана процедура кодирования кодовой комбинации Ai = 1001 при использовании порождающего полинома G(X) = X3 + X + 1 для кода Хемминга (7,4), исправляющего однократную ошибку, приведём в примере 2 процедуру декодирования принятой с помехой кодовой комбинации.

Плотноупакованные коды — такое название получили коды, у которых соблюдается точное равенство В (4.19) числа необходимых синдромов для исправления ошибок заданной кратности. Вследствие уникальности таких кодов, плотноупакованные коды называют также "совершенными" или "оптимальными". К таким кодам относятся коды Хемминга, которые при минимальном кодовом расстоянии dmin = 3 обеспечивают исправление всех однократных ошибок, поскольку у классических кодов Хемминга число символов n = 2 r -1 удовлетворяет условию (4.19).

В общем случае, при необходимости исправления всех независимых ошибок кратности до gи включительно, требуемое число синдромов определяется выражением = - число сочетаний из n по i, причём C0 1 n =, так как 0! = 1.

С учётом (4.19) и (4.20), можно получить выражение для оценки числа проверочных символов r при необходимости исправления gи - кратных ошибок в принятых кодовых комбинациях

Занимаясь поиском плотноупакованных кодов ("кодов без потерь"), М. Голей заметил (опубликовано в 1949 году), что

а это означало, что может существовать плотноупакованный двоичный (23,12) код, удовлетворяющий условию (4.20), исправляющий все кодовые комбинации с тремя или менее ошибками. Он показал, что такой код действительно существует и в дальнейшем этот код получил его имя.

Код Голея относится к классу ЦК с порождающими двойственными (дуальными) полиномами (4.9):

Простым вычислением проверяется, что X (G ~ X23 +1 =(X+1) ⋅G(X) ⋅

в связи с чем в качестве порождающего полинома ЦК Голея (23, 12) можно использовать как G(X), так и G̃(X).

Код Голея, гарантированно исправляющий ошибки с кратностью не менее трёх включительно, обладает минимальным кодовым расстоянием, dmin =2g и +1 = 7, что, как правило, указывается в маркировке кода (23, 12, 7). Добавление к этому коду общей проверки на чётность по всем позициям увеличивает на единицу как общую длину кода, так и минимальное кодовое расстояние dmin = 8.

Расширенный код Голея, имеющий маркировку (24, 12, 8), состоит из 12 информационных символов и 12 проверочных, т. е. представляет собой код, обладающий скоростью 1/2 и избыточностью, также равной 1/2.

Обратим внимание на то, что плотноупакованные коды Хемминга и Голея — циклические, которые принадлежат классу двоичных линейных кодов. Общим для линейных двоичных кодов является наличие, в качестве разрешённого, нулевого кодового слова 000 ... 00, что приводит к тому, что минимальный вес wmin ненулевого разрешённого кодового слова равен минимальному кодовому расстоянию dmin (4.13).

В общем случае вес кодовых комбинаций может принимать различные значения, и совокупность чисел кодовых комбинаций с постоянным весом Nw определяют как распределение весов кода или как спектр весов кода. Распределение весов в коде Голея

(23, 12, 7) следующее:

N0 = N23 = 1; N7 = N16 = 253; N8 = N15 = 506; N11 = N12 = 1288,

а в расширенном коде Голея N0 = N24 = 1; N8 = N16 = 759; N12 = 2576. (4.23)

Кодовые слова с весом 12, 8 и 16, выделенные из кода (24,12,8). образуют КПВ максимальной мощности.

К сожалению, кроме кодов Хемминга (dmin = 3, gи =1) и кода Голея (23, 12, 7) пока не найдено других совершенных, плотноупакованных кодов, число синдромов у которых точно соответствует требуемому значению для гарантированного исправления ошибок заданной кратности.

1.5. Построение порождающих и проверочных матриц циклических кодов Наряду с полиномиальным способом задания кода, структуру построения кода можно определить с помощью матричного представления. При этом в ряде случаев проще реализуется построение кодирующих и декодирующих устройств ЦК. Рассмотрим варианты формирования и обработки ЦК, заданных в виде порождающих и проверочных матриц, на конкретном примере ЦК Хемминга (7, 4), воспользовавшись выражением (4.11), в котором определены двойственные (дуальные) порождающие полиномы кода:

X7+1 = (X +1) (X3+X+1) (X3+X2+1),

что соответствует кодам (7, 6); (7, 4); (7, 4),

23. Квантование аналоговых сигналов (основные понятия и определения; выбор частоты квантования по времени; выбор числа двоичных разрядов при квантовании по амплитуде).

 

Дискретизация непрерывных аналоговых данных должна осуществляться с интервалом времени t_д = 1/f_д. При разработке цифрового устройства этот период должен тщательно выбираться для реализации точного представления первоначального аналогового сигнала в цифровой форме.

КРИТЕРИИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПО КОТЕЛЬНИКОВУ

· Частота дискретизации f_д сигнала с шириной полосы f_в должна удовлетворять условию f_д > 2f_в, в противном случае информация о сигнале будет потеряна

· Эффект наложения спектров возникает, когда f_д < 2f_в

· Эффект наложения спектров широко используются в таких задачах, как прямое преобразование ПЧ в цифровую форму

Очевидно, что чем больше будет взято отсчетов аналогового сигнала на интервале времени (больше выбранная частота дискретизации), тем более точным будет представление этого сигнала в цифровом виде. При уменьшении количества отсчетов в единицу времени (уменьшении частоты дискретизации) можно достигнуть предела, после которого преобразованный в цифровую форму сигнал будет искажен до такой степени, что будет невозможно восстановить его в первоначальном виде.

Иными словами, в соответствии с теоремой Котельникова требуется, чтобы частота дискретизации аналогового сигнала была, по крайней мере, вдвое больше полосы полезного сигнала, иначе информация об исходном виде аналогового сигнала будет потеряна. Если выбрать частоту дискретизации меньше (а в большинстве практических устройства и равной) удвоенной полосы частот преобразуемого аналогового сигнала, то возникает эффект, известный как наложение (заворот) спектра (aliasing).

Обычно анализ аналоговых цепей производится при помощи синусоидального сигнала. На нем проще понять физический смысл явлений, возникающих в исследуемом блоке. Так как дискретизатор является аналоговым устройством, то воспользуемся этим методом и мы. Для понимания физического смысла наложения спектра, рассмотрим эффекты, возникающие при дискретизации синусоидального сигнала. Эти эффекты мы проанализируем, как во временном, так и в частотном представлении исследуемого сигнала.

В качестве примера, иллюстрирующего эффект наложения спектра (заворота спектра), на рисунке 2 приведена временная диаграмма синусоидального сигнала, дискретизированного по времени идеальным дискретизатором.

Рисунок 2. Влияние стробоскопического эффекта во временной области, приводящее к наложению спектров входного сигнала.

В приведенном на этом рисунке примере, частота дискретизации f_д выбрана лишь ненамного выше частоты входного аналогового сигнала f_в. То есть мы нарушили теорему Котельникова! Обратите внимание, что в результате дискретизации, мы получили отсчеты сигнала, частота которого равна разности частот дискретизации и исходного сигнала f_д – f_a. То есть мы наблюдаем низкочастотный образ реального сигнала. Этот эффект известен в технике как стробоскопический эффект.

На рисунке 3 приведено частотное представление той же самой ситуации. На этом рисунке четко видно, что на выходе идеального дискретизатора появляется не только низкочастотная составляющая с частотой f_д – f_a, но и f_д + f_a, 2×f_д – f_a, 2×f_д + f_a и т.д.

Теперь рассмотрим дискретизацию одиночного синусоидального сигнала с частотой fa идеальным дискретизатором с частотой следования стробирующих импульсов f_д. Пусть, f_д > 2f_a. В частотном спектре на выходе дискретизатора появляются гармоники частоты дискретизации f_д, промодулированные исходным сигналом, в результате чего появляются образы входного сигнала на частотах, равных |±Kf_д ± f_a|, где K = 1, 2, 3, 4,... Эта ситуация отчетливо видна на спектре сигнала полученного с выхода идеального дискретизатора, приведенном на рисунке 3.

Рисунок 3. Спектр дискретизированного аналогового сигнала

Полоса сигнала по Котельникову определяется как спектр от постоянного тока до f_д/2. Частотный спектр на входе дискретизатора разделяется на бесконечное число зон. Полоса частот каждой зоны составляет 0,5f_д. На практике, идеальный дискретизатор перемещает все высокочастотные образы сигнала в полосу частот от 0 до f_д/2, и накладывает их на сигнал, присутствующий в первой зоне частот Котельникова.

Теперь рассмотрим случай, когда частота полезного сигнала выходит за пределы первой зоны Котельникова. При частоте сигнала, немного ниже частоты дискретизации, временная диаграмма приведена на рисунке 2. Этот случай тоже можно проиллюстрировать рисунком 3, однако на этот раз в качестве входного сигнала следует рассматривать сигнал во второй зоне Котельникова, а компонента сигнала в первой зоне возникает после процесса дискретизации.

Обратите внимание, что, несмотря на то, что сигнал находится вне первой зоны Найквиста, его продукт преобразования f_д – f_a попадает внутрь этой зоны. Возвращаясь к рисунку 3, становится ясно, что, если мешающий сигнал появляется на любом из образов частоты f_a, то он тут же переносится на частоту f_a, приводя, таким образом, к появлению мешающего частотного компонента в первой зоне Котельникова.

Такой процесс подобен работе аналогового смесителя. Это означает, что перед устройством дискретизации сигнала обязательно требуется аналоговая фильтрация, подавляющая компоненты этого сигнала, частоты которых находятся вне полосы первой зоны Котельникова и после дискретизации попадают в ее пределы. Требования к амплитудно-частотной характеристике аналогового фильтра на входе дискретизатора будут зависеть от того, как близко частота внеполосного сигнала отстоит от f_д/2, а также величиной требуемого подавления. Эти вопросы мы рассмотрим позднее в главе, посвященной фильтрам, предназначенным для устранения эффекта наложения спектров