Магнитное поле оси кругового тока

Элемент тока I dl возбуждает магнитное поле dB, перпендикулярное к радиусу-вектору r. Разложим это поле на две слагающие: осевую слагающую dB_z и радикальную слагающую dB_r. При интегрировании по контуру кругового тока радиальные слагающие взаимно уничтожаются. Результирующее поле будет направлено вдоль оси Z, и надо интегрировать только осевую составляющую

Угол один и тот же для всех точек кругового тока. Интегрирование сводится к простому умножению на длину контура 2πa. Таким образом,

4) Индукция маг. Поля на оси соленоида.

Поэтому маг-ю индукцию на оси соленоида можно получить проинтегрировав индукции от отдельных круговых токов, согласно расчетов:

n-число витков на единицу длины соленоида.

Направление вектора B вдоль оси соленоида по правилу буравчика.

 

 

33. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

На всякую рамку с током, помещенную в маг. поле, действует пара сил. Можно предположить, что эта пара сил, создается силами, действующими на каждый элемент контура тока, находящихся в маг. поле.

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Ампер установил, что сила d F, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит­ном поле, равна

 

где d l —вектор, совпадающий по направлению с током, В — вектор магнитной индукции.

Направление вектора d F определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

dF=IBdlsinα

где a —угол между векторами d l и В.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I ₁ и I ₂, расстояние между которыми равно R. Каждый из провод­ников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой провод­ник с током. Можно показать, что два параллельных тока, одинакового направления, притягиваются друг с силой

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой.

 

 

34. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Магнитное поле движущегося заряда.

Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m= 1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, равна

Для нахождения числового значения m ₀ воспользуемся определением ампера, согласно

которому =2×10^–7Н/м при I ₁ = I ₂ = 1 А и R = 1 м. Подставив это значение в фор­мулу, получим

где генри (Гн) — единица индуктивности.

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предполо­жим, что элемент проводника d l с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера запишется в виде d F =IB d l, откуда

Единица магнитной индукции — тесла (Тл): 1 Тл — магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:

Так как m ₀ = 4p×10^–7 Н/А², а в случае вакуума (m = 1), согласно (109.3), B=m ₀ H, то для данного случая

Единица напряженности магнитного поля — ампер на метр (А/м): 1 А/м — напря­женность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p×10^–7 Тл.

Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. Обобщая общие данные: Закон точечного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой

(1)

где r — радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М. Вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в кото­рой расположены векторы v и r, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к r.

Модуль магнитной индукции вычисляется по формуле

(2)

где a — угол между векторами v и r.

Приведенные закономерности (1) и (2) справедливы лишь при малых скоро­стях (v <<с) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

 

Формула (1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движу­щегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на —Q. Скорость v — относительная скорость, т. е. скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависиткак от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный харак­тер магнитного поля движущегося заряда.

 

 

 

36. Эффект Холла. Циркуляция вектора В для магнитного поля в вакууме.

Эффект Холла* (1879) — это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.

Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В, перпендикулярное j. При данном направлении j скорость носителей тока в металле — электронов — направлена справа налево. Электроны испытывают дейст­вие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего — их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность Е_B этого попереч­ного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновеши­вать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

где а — ширина пластинки, Dj — поперечная (холловская) разность потенциалов.

 

Учитывая, что сила тока I=jS=nevS (S — площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, п — концентрация электронов, v — средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В формуле (1) R= 1 / (en) — постоянная Холла, зависящая от вещества. По измеренному значе­нию постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в провод­нике (при известных характере проводимости и заряда носителей); 2) судить о природе проводимости полупроводников (см. § 242, 243), так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока. Эффект Холла поэтому — наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках.

§ 118. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме

Циркуляцией вектора В по заданно­му замкнутому контуру называется интеграл

где d l — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B_l=B cos a — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и d l.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):

циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром: (2)

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис.,

(3)

 

Выражение (2) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна

(4)

 

Согласно выражению (2), получим В×;2p r=m ₀ I (в вакууме), откуда

Сравнивая выражения (3) и (4) для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциаль­ным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

37. Магнитное поле соленоида и тороида.

Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток. Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Магнитного поля внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида — неоднородным и очень слабым.

На рис. представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее,тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный кон­тур ABCDA, как показано на рис. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, равна

 

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и B_l= 0. На участке вне соленоида B =0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

Из (1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме): (2)

Получили, что поле внутри соленоида однородно. Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био — Савара — Лапласа; в результате получается та же формула (2).

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида — кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае, окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда, по теореме о циркуляции , B×;2p r=m ₀ NI, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N — число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B×;2p r= 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует.

 

 

 

38. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля, в том числе в дифференциальной форме.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называ­ется скалярная физическая величина, равная

где B_n = В cos a — проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a — угол между векторами n и В), d S =d S n — вектор, модуль которого равен d S, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos a (определяется выбором положительного направления нормали n). Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции Ф _B через произвольную поверхность S равен (1)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В, B_n=B=const и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб — маг­нитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м², расположен­ную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл×м²).

Теорема Гаусса для поля: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Пусть V - объем ограничивающий рассматриваемой поверхности. Тогда, при стягивании закм-й поверхности в точку, получаем

(2)

Т.о., в любой точке пространства =0 (а в электростатике , и только в тех местах, где нет объемных зарядов ρ=0, ).

В силу равенства (2), в области маг. явлений не сущ-ет аналога эл-м зарядам.

Теорема Гаусса для маг. поля отражает факт отсутствия маг. зарядов, вследствии чего линии маг. индукции не имеют ни начало ни конца – они замк-ые.

Магнитный поток Вебера:

 

39,Магнитные моменты электронов и атомов.

 

Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничива­ются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул, положив в основу гипотезу Ампера, согласно которой в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом p _m= IS n, модуль которого (1)

где I=en — сила тока, n — частота вращения электрона по орбите, S — площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке, то ток направлен против часовой стрелки и вектор р _m (в соответствии с правилом правого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона, как указано на рисунке.

С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим момен­том импульса L _e, модуль которого (2)

где v = 2 pn, pr ² = S. Вектор L _e (его направление также определяется по правилу правого винта) называется орбитальным механическим моментом электрона.

Из рис. следует, что направления р _m и L _e, противоположны, поэтому, учитывая выражения (1) и (2), получим

где величина (3)

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов. Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой ор­биты, хотя для разных орбит значения v и r различны. Формула (3) выведена для круговой орбиты, справедлива и для эллиптических орбит.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза, которые наблюдали поворот свободно подвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намагничении во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался переменный ток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось гиромагнитное отношение, которое ока­залось равным – (e/m). Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекуляр­ные токи, совпадал со знаком заряда электрона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза большим, чем введенная ранее величина g (3). Для объяснения этого результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предположено, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных моментов (1) и (2) электрон обладает собственным механическим моментом импульса L _es, называ­емым спином. В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона L _es, соответствует собственный (сотовый) магнитный момент р _ms, пропорци­ональный L _es и направленный в противоположную сторону:

Величина g_s называется гиромагнитным отношением спиновых моментов.

Проекция собственного магнитного момента на направление вектора В может принимать только одно из следующих двух значений:

где ħ=h/ (2p) (h— постоянная Планка), m _b— магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона.

Общий магнитный момент атома (молекулы) p _a равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:

 

40. Диамагнетики и парамагнетики

Вещества, способные влиять на маг. поле – магнетики. Под влиянием электростатического поля, диэлектрик приходит в особое состояние – поляризация. Т.е., на границах диэлектрика и в обл-х где он неоднороден, возникают эл-е связанные заряды. Они создают свое электро-стат. поле, которое складывается с первоначальным эл-стат полем. Тогда суммарная напряженность эл-стат поля:

E_0­ – первоначальное эл-стат. поле

E - поле, возникающие в результате поля диэлектрика.

Точно также, всякий магнетик, находящийся в маг. поле, текущих по проводам намагничиваются.

В – вектор маг-ой индукции, хар-ий маг-е поле, создаваемое всеми макро и микропотоками.

Н – вектор напряженности, хар-ий маг-е поле макротоков.

=> маг-е поел в вещ-ве складывается из двух полей: внеш. поля, создаваемого током и полем создаваемого намогничиванием вещ-м. Тогда вектор маг. индукции результирующего маг. поля равно векторной сумме маг-х индукций внеш. поля B₀ и поля микротока B

, где

Вещ-ва, для которых сонаправлен с , называется парамагнетиками (платина, алюминий, редкоземельные элементы).Вещ-ва для которых противоположны с называют диамагнетиками (висмут, серебро, золото, медь).

Т.е., парамагнетики намагничиваются вдоль маг. поля, в результате чего они притягиваются к ист-ку внеш. поля. Диамагнетики намагничиваются против поля и отталкиваются от ист-ка внеш. поля.

Для всех диамагнитных тел и большинства парамагнитных довольно мало по сравнению с . Однако сущ-ет группа тел, для которых может быть велико по сравнению с . Такие тела выделяются в особую группу фугромагнитных тел (железо, никель, коболь и др-е). Эти вещ-ва в 10³ - 10⁴ сильнее притягивается к ист-ку внеш. поля, т.е. они сильно намагничиваются вдоль поля.

По гипотезе Ампера, в молекулах парамагнитных вещ-в имеются круговые токи, названные молекулярными токами.

Когда нет внеш. маг-го поля оси этих токов расположены беспорядочно и создаваемые ими маг-е поле в среднем равно 0. Под влиянием маг. поля эти круговые токи ориентируются, при этом они создадут маг-е поле, дающее в среднем индукцию отличную от нуля индукцию она прибавится к первоначальной маг-ой индукции поля . Т.о., объясняется увеличение суммарной магнитной индукции в вещ-ве. Т.е., намагничивание парамагнетика сводится к определенной ориентации его молекулярных токов.

Круговые токи возникают лишь при возбуждении внеш. маг-м полем. Направление этих индуцированных токов таково, что создаваемое ими маг-е поле, направлено против внеш. маг. поля. Этим объясняется уменьшение индукции поля в диамагнитной среде.

 

 

41. Магнитное поле в веществе. Магнитная проницаемость. Закон полного тока для магнитного поля в веществе, теорема о циркуляции вектора Н.

Намагниченность. Магнитное поле в веществе

Подобно тому, как для количественного описания поляризации диэлектриков вводи­лась поляризованность (см. § 88), для количественного описания намагничения магнетиков вводят векторную величину — намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

где — магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул (см. (131.6)).

Рассматривая характеристики магнитного поля (см. § 109), мы вводили вектор магнитной индукции В, характеризующий результирующее магнитное поле, создава­емое всеми макро- и микротоками, и вектор напряженности Н, характеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагничен­ным веществом. Тогда можем записать, что вектор магнитной индукции результирующего магнитного ноля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля В ₀ (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме) и поля микротоков В ' (поля, создаваемого молекулярными токами): (133.1)

где В ₀= m ₀ Н (см. (109.3)).

Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины l, внесенного в однородное внешнее магнитное поде с индукцией В ₀. Возникающее в магнетике магнитное поле молекуляр­ных токов будет направлено противоположно внешнему полю для диамагнетиков и совпадать с ним по направлению для парамагнетиков. Плоскости всех молекулярных токов расположатся перпендикулярно вектору В ₀, так как векторы их магнитных моментов p _m антипараллельны вектору В ₀ (для диамагнетиков) и параллельны В ₀ (для парамагнетиков). Если рассмотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис. 189). Нескомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра.

Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и созда­ет внутри него поле, магнитную индукцию В' которого можно вычислить, учитывая формулу (119.2) для N = 1 (соленоид из одного витка): (133.2)

где I' — сила молекулярного тока, l — длина рассматриваемого цилиндра, а магнит­ная проницаемость m принята равной единице.

С другой стороны, I'/l — ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, или его линейная плотность, поэтому магнитный момент этого тока p = I'lS/l = I'V/l, где V — объем магнетика. Если Р — магнитный момент магнетика объемом V, то намаг­ниченность магнетика (133.3)

Сопоставляя (133.2) и (133.3), получим, что

или в векторной форме

Подставив выражения для В ₀ и В' в (133.1), получим (133.4)

Или (133.5)

Как показывает опыт, в несильных полях намагниченность прямо пропорциональ­на напряженности поля, вызывающего намагничение, т. е. (133.6)

где c — безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества. Для диамагнстихов c отрицательна (поле молекулярных токов противоположно вне­шнему), для парамагнетиков — положительна (поле молекулярных токов совпадает с внешним).

Используя формулу (133.6), выражение (133.4) можно записать в виде (133.7)

откуда

Безразмерная величина (133.8)

представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив (133.8) в (133.7), придем к соотношению (109.3) В = m ₀ m Н, которое ранее постулировалось.

Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и парамаг­нетиков очень мало (порядка 10^–4 —10^–6), то для них m незначительно отличается от единицы. Это просто понять, так как магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким образом, для диамагнетиков c<0 и m <1, для парамагнетиков c>0 и m >1.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В) является обобщением закона (118.1):

где I и I' — соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым кон­туром L. Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции В по произволь­ному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молеку­лярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор В, таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как мак­роскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопичес­кими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции В не имеют источников и являются замкнутыми.

Из теории известно, что циркуляция намагниченности J по произвольному замкну­тому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром:

Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать также в виде (133.9)

где I, подчеркнем это еще раз, есть алгебраическая сумма токов проводимости.

Выражение, стоящее в скобках в (133.9), согласно (133.5), есть не что иное, как введенный ранее вектор H напряженности магнитного поля. Итак, циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром: (133.10)

Выражение (133.10) представляет собой теорему о циркуляции вектора Н.