Интегрирование заменой переменнойТеорема 1: Пусть: 1) f(x) – непрерывная функция на отрезке [ a, b ]; 2) функция дифференцируема на [ ], причём непрерывна на [ ] и множеством значений функции является отрезок [ a, b ]; 3) . Тогда справедлива формула (1) Формула (1) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле. Пример 1. Решение: Выполним подстановку . Тогда при х = 0 и при х = 1. Поскольку функция непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для неё, в силу теоремы 4 существует первообразная на этом отрезке. Получаем Пример 2. Решение: Применим здесь подстановку Тогда при х = 0, при х = а. Подставляя всё это в исходный интеграл, получим Пример 3. Решение: По формуле Ньютона-Лейбница имеем Если использовать для интегрирования подстановку, например, , то получим: . Данный ответ неверный, так как при замене использовалась функция , имеющая разрыв на промежутке интегрирования (по теореме 1 функция должна быть непрерывна на этом промежутке). Нельзя также использовать замену , так как на концах промежутка функция принимает одинаковые значения. Можно использовать замену Данный пример рассмотрен для наглядности, чтобы понять, какие замены можноиспользовать, а какие - нет.
|