Методы прогнозирования. Аналитическое прогнозирование. Метод экстраполяционных полиномов. Метод регрессионного анализа

Общие сведения о прогнозировании

Термин прогноз происходит от греческого слова "prognosis", что означает предвидение, предсказание о развитии чего-либо, основанное на определенных даны, напр., прогноз состояния технического объекта. Точность про­гноза зависит от того, какой закон используется и насколько правильно и точно он осознан.

Прогнозирование — составление прогноза развития, становления, распространения чего-либо, например, надежности на основании изучения тщательно отобранных данных.

При решении задачи прогнозирования находят применение два понятия:

интерполяция (лат. interpolate — изменение), означающее опре­деление промежуточных значений функции по некоторым известным ее значениям,

экстраполяция (лат. extra+polire — сверх+гладкий), характери­зующее определение значений функции за пределами интервала, где известны её значения.

В основе прогнозирования времени безотказной работы ОД лежит модель выработки ресурса при различ­ных режимах эксплуатации, вид которой в основном определяется ха­рактером эксплуатационного нагружения.

Выполнить достоверное прогнозирование можно только в том слу­чае, когда известны условия, в которых ОД будет применяться. При этом под условиями понимаются: режимы использования, характер нагрузки, внешние факторы (температура, влажность и т.п.). Чем больше физических процессов, являющихся причинами деградации объекта, тем сложнее характер изменения работоспособности, тем труднее осуществить точное прогнозирование.

При решении этой задачи имеем дело со случайными процессами, представляющими изменения случайной величины при изменении неслу­чайного параметра. Случайными величинами являются значения диагно­стических признаков, а неслучайным параметром — время.

Прогнозирова­ние возможно, если в случайном процессе, характеризующем измене­ние параметра, можно выделить тренд (англ. trend — тенденция, ук­лон), т. е. принципиальной основой прогнозирования служит предпо­ложение о существовании единых закономерностей, определяющих износ или старение.

Прогнозирование подразделяется по назначению:

— на ин­дивидуальное (для конкретного объекта)

— групповое (для партии одно­типных объектов),

по времени прогнозирования:

— на локальное (время прогноза незначительное)

— глобальное (до потери работоспособности).

Задача прогнозирования изменения состояния объекта может быть решена методами экстраполяции или классификации.

При экстраполяции реализуется принцип переноса на будущее тен­денций прошлого. При этом изменение состояния ОД определяется зна­чениями детерминированных или вероятностных характеристик состоя­ния объекта на основе данных, получаемых на участке наблюдения. Про­цедура прогнозирования включает анализ результатов наблюдения, построение аналитического выражения, связывающего результаты наблюдения (интерполяцию) и, соответственно, экстраполяцию с помощью полученного выражения. Погрешности прогнозирования при использовании метода экстраполяции складываются из погреш­ностей при измерении результатов наблюдения, погрешностей, до­пускаемых при построении прогнозирующего выражения, и нако­нец, погрешности, возникающей из-за условий вне области наблю­дения.

При классификации необходимо обнаружить общие черты в раз­личных объектах, их систематизировать и отнести к классу известных. В этом случае приходится решить две задачи: во-первых, построить множество классов, которые характеризуются определенной сово­купностью признаков и соответствуют набору значений диагности­ческих параметров конкретного объекта; во-вторых, оценить при­знаки и по полученным результатам отнести объект диагностирова­ния к тому или иному классу. При решении первой задачи требуется обработать большой объем статистических данных, полученных в период эксплуатации объектов, или выполнить специальные экспе­рименты. Возможность формирования классов во многом определя­ется удачным выбором набора диагностических параметров. Эти па­раметры должны достаточно точно характеризовать процессы, при­водящие к потере работоспособности объекта, и их оценка с требуе­мой точностью не должна представлять больших трудностей. Успех в решении второй задачи во многом определяется искусством распоз­навания, т.е. отнесением ОД по результатам оценки к известному классу, характеризуемому определенной тенденцией изменения со­стояния ОД с течением времени.

В зависимости от используемого математического аппарата различают три вида прогнозирования:

1) аналитическое, основанное на степенных рядах и уравнениях регрессии;

2) вероятностное, основанное на теории вероятности;

3) статистическая классификация, основанная на теории распознавания образов.

Решение задачи прогнозирования для конкретного ОД позволяет:

— выявить узлы (блоки) объекта, работоспособность которых существенно изменится в ближайшее время;

— обосновать количество запасных блоков или узлов перед очеред­ным использованием и объём запасных частей на весь период эксплуатации объекта;

— определить сроки проведения профилактических работ, направ­ленных на обеспечение работоспособности объекта.

Аналитическое прогнозирование

Методы экстраполяции, используемые для определения значения прогнозируемой переменной, называются аналитическими или методами аналитического прогнозирования.

При постановке задачи прогнозирования считается, что работоспособность объекта определяется одним параметром ξ. В этом случае прогнозирование работоспособности объекта диагностирования рассматривается как прогнозирование изменения функции ξ(t), значения которой изменяются дискретно или непрерывно в интервале времени T₁ = [t₀, t₁]. В результате имеются значения этой функции ξ₀, ξ₁, _… ξ_i, … ξ_n на интервале T₁ (рис. 8.4.).

Необходимо по известным значениям ξ_i определить значения функции ξ(t): ξ_n+1, _… ξ_n+j, … ξ_n+m в будущие моменты времени t _n+1, _… t _n+j, … t _n+m T₂ или узнать, через какое время t _n+j T₂ значение ξ_n+j достигнет допустимого уровня ξ_ДОП.

Рис. 8.4 – Динамика изменения функции ξ(t) во времени

 

Поставленная задача может быть решена методом экстраполяционных полиномов и регрессионного анализа.

а) Метод экстраполяционных полиномов. Идеаль­ным случаем решения за­дачи является адекватное описание изменения функ­ции ξ(t)каким-либо аналитическим выражением. Ввиду сложности нахожде­ния таких выражений по дискретным точкам ξ_i целе­сообразно определить наи­лучшую структуру анали­тического выражения, а при прогнозировании конкретной функции ξ(t) изменять базовые элементы, входящие в это вы­ражение.

В интервале T₁ по известным значениям ξ_i необходимо найти та­кую функцию F (t), которая с заданной точностью описывала бы про­цесс изменения состояния ОД, т. е. выполнить интерполяцию. В общем случае можно использовать многочлен вида , где а_l – неизвестные коэффициенты; φ_l (t)– известные функции про­стейшего вида.

Получить многочлен F (t)значит определить коэффициенты а_l. Целесообразно использовать в качестве функций φ_l (t)функции, име­ющие наиболее простую структуру. Тогда будем иметь базовый полином в виде:

К этому виду могут быть сведены многие степенные выражения, которые различаются способом вычисления а_l.

Для выполнения точного прогнозирования следует воспользовать­ся более сложной экстраполяционной формулой и использовать резуль­таты не двух, а более измерений.

При прогнозировании изменения состояния по одному обобщенно­му параметру могут быть использованы экстраполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Ввиду того, что коэффициенты экстраполяционных полиномов не зависят от значения прогнозируемого параметра, они могут быть заранее рассчитаны и сведены в специальные таблицы, что упрощает процесс прогнозирования, так как сокращается объем вычислительных работ и облегчается авто­матизация прогнозирования.

На практике обычно ограничиваются полиномами 1-й и 2-й степеней, поскольку скорость изменения состояния не превышает скорость реагирования полиномов. Реальные процессы протекают медленно.

Точность прогноза можно повышать, если прогнозировать только на один шаг с последующим включением полученного значения в область известных значений Т ₁. При этом каждое прогнози­рование (на один шаг) начинается из новой точки,получаемой смещением процесса на один шаг (t ₀, t ₁).

Количество измерений и время прогнозирования влияет на точ­ность прогноза: чем больше n, тем точнее прогноз, так как удается более точно описать (интерполировать) процесс изменения параметра в об­ласти Т ₁. Чем больше время, на которое осуществляется прогнозирова­ние T_ПР, тем меньше точность, так как в области Т ₂могут быть учтены не все факторы. Минимальное количество требуемых измерений связа­но со степенью r полинома следующим образом: п = r + 1.

На практике для приемлемой точности прогноза п увеличивается в 3...5 раз.

Таким образом, использование экстраполяционных полиномов для аналитического прогнозирования предполагает:

1) выбор оптимального выражения F (t)с учетом тенденции изме­нения параметра в области T₁;

2) определение коэффициентов а_l для получения точного прогноза;

3) экстраполяцию F (t) на область Т ₂и определение значения па­раметра в требуемый (прогнозируемый) момент времени; оценива­ние точности прогноза.

 

б) Метод регрессионного анализа.

Он основывается на использовании уравнения регрессии вида:

где y – величина, характер изменения которой необходимо определить; β₀ – постоянная величина, β_i – коэффициенты; x _i – параметры, влияющие на прогнозируемую величину; ε – случайная погрешность.

Зависимость переменной у от х носит линейный характер. Модель изменения диагностического параметра ξ во времени на основе регрессионного уравнения имеет вид: ξ = ξ₀ + t /σ; где ξ₀ – начальное значение параметра; σ – коэффициент регрессии, определяющий наклон кривой.

Время работы объекта диагностирования до отказа t _отк будет определяться допустимым значением диагностического параметра: t _отк = (ξ_ДОП – ξ₀)∙σ.

Исходной информацией для прогнозирования являются значения диагностических параметров ξ_ij для N объектов в моменты времени t _j, где i = 1,2… N, j = 1,2 … n _i. По измеренным значениям, используя метод регрессивного анализа, вычисляются значения:

,

Для прогнозирования времени безотказной работы объекта необходимо знать допустимые значения диагностических параметров ξ_ДОП. Если ξ_ДОП неизвестно, то оно может быть определено следующим образом. По найденным σ_i и ξ_0i вычисляются средние значения:

Учитывая полученные результаты σ и ξ₀ можно определить математическое ожидание времени отказа: M (t _отк) = (ξ_ДОП – ξ₀)∙σ, откуда

Полученный результат есть предельно допустимое значение диагностического параметра. Для i -го объекта прогноз времени отказа может определяться следующим выражением:

Если запас работоспособности объекта определять выражением: δ = ξ_ДОП – ξ₀,

а остаточный запас работоспособности: δ₀ = ξ_ДОП – ξ₁, то для линейной модели изменения диагностических параметров, время безотказной работы для i -ого объекта может быть найдено с помощью зависимостей:

Если имеется статистика по наблюдениям, прогнозирование можно осуществить следующим образом. По результатам измерений устанавливают аппроксимирующий полином оптимальной степени достоверности, называемый трендом. Линейная форма тренда имеет вид:

где ξ_i, t _i – текущие значения диагностического параметра и времени; – средние значения диагностического параметра и времени; а ₁ – аппроксимирующий коэффициент.

Параметры тренда по данным N наблюдений определяют соотношением:

где – математическое ожидание параметра х.

Время безотказной работы определяется выражением: t _б.р = t _γ – t _H где t _γ – продолжительность достижения предельного состояния при гамма-процентном ресурсе элементов, t _H – продолжительность работы элемента к началу прогнозирования.

Доверительные границы прогноза значения диагностического параметра могут быть найдены из следующего соотношения:

где t (p) – коэффициент Стьюдента для N -2 степеней свободы, σ_ξ – среднеквадратичное отклонение диагностического параметра.

Среднеквадратичное отклонение диагностического параметра определяется:

где – среднеквадратичное отклонение реальных и прогнозируемых значений диагностического параметра, δ_i – отклонение фактического значения от вычисленного по уравнению регрессии.