Виды обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Задача Коши. Пример

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y(n)(x)) = 0,где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения. Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме: y(n) = f(x, y, y ', y '', …, y(n − 1)).

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.

Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, …, y(n − 1)(x0) = yn − 1.

Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y(n)(x)) = 0, x>x0, удовлетворяющего условиям

y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, …, y(n − 1)(x0) = yn − 1.

Условия y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, …, y(n − 1)(x0) = yn − 1 называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.

Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y(n)(x)) = 0, называется частным решением. Общим решением дифференциального уравнения F(x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y(n)(x)) = 0 называется функция y = Ф(x, С1, С2, …, Сn),содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, …, Сn, и обладающая следующими свойствами: Ф(x, С1, С2, …, Сn) является решением уравнения при любых допустимых значениях С1, С2, …, Сm; для любых начальных данных y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, …, y(n − 1)(x0) = yn − 1, для которых задача Коши имеет единственное решение, существуют значения постоянных С1 = A1, С2 = A2, …, Сn = An, такие что решение y = Ф(x, A1, A2, …, An) удовлетворяет заданным начальным условиям. Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x, y) = 0 или G(x, y, С1, С2,..., Сn) = 0. Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.

3. Системы ОДУ. Пример.

 

4. Численное решение ОДУ. Разностная схема. Пример.

 

5. ПО “Виртуальный электролизер” как инструмент имитационного моделирования процесса.

Эта программа имитирует работу реального электролизера. Предлагаемый вариант предназначен для иллюстрации динамики процесса электролиза и результатов вмешательства в технологический процесс, а также обучения персонала.

Программа предназначена для

• Самостоятельного изучения динамики процессов, протекающих в алюминиевом электролизере

• обучения технологического персонала различного уровня в учебном классе в рамках программ повышения квалификации

• использования в качестве тренажера для просмотра реакции электролизера на управляющие воздействия, на изменение внутренних и внешних факторов и отработки действий персонала

• демонстрации работы различных алгоритмов управления

• консультаций при принятии решений об изменении технологических параметров для выбора наилучшего решения.

имитации (динамическая модель) позволяет рассчитать в виртуальном времени: динамические изменения напряжения, энергобаланса, состава электролита, выхода по току, масс и уровней металла – электролита и т.п.

Расчет начального состояния. Присваиваются начальные значения следующим технологическим переменным: температура электролита, уровни металла и электролита, криолитовое отношение, содержание CaF₂, напряжение электролизера, напряжение анода, ток серии. В программе используются параметры конструкции электролизера: размеры катода и анода, катодная футеровка (толщины и материалы слоев), падение напряжений в катоде и части ошиновки. По начальным значениям производится расчет начального теплового баланса, температуры перегрева, толщины настыли, межполюсного расстояния, выхода по току, температуры кожуха, коэффициентов теплообмена, масс электролита и металла. Так как несколько вычисляемых параметров являются взаимосвязанными, по одному из них производится итерация до заданной точности. Далее, на каждом дискретном шаге виртуального времени пересчитывается изменившееся энергетическое состояние электролизера. Для этого последовательно включаются следующие блоки;

Ток, плотность тока, критическая плотность тока. Ток в ходе динамических расчетов может быть равным заданному начальному с наложенным шумом, а может изменяться пользователем в ходе расчетов. Плотность тока определяется как ток, отнесенный к площади анода. Критическая плотность тока определяется по формуле Пионтелли и зависит от концентрации глинозема, температуры и криолитового отношения электролита;

Расчет составляющих напряжения. Изменение напряжения электролизера может задаваться пользователем. Исходя из этих данных, рассчитывается падение напряжения в электролите и межполюсное расстояние. В случае отсутствия заданных значений, программа рассчитывает составляющие напряжения и электробаланс по методике Хаупина. Рассчитываются в динамике – омическое падение напряжения в МПР, добавочное сопротивление газовых пузырей, обратная ЭДС, в том числе равновесный потенциал и перенапряжения. Напряжение анода принимается константой по данным снятого энергобаланса в случае отсутствия постоянно снимаемых значений;

Питание глиноземом. В программе может моделироваться поступление глинозема как при поточной обработке, так и при подаче через АПГ. Отдаваемая доза растворяется по закону, зависящему от свойств глинозема, состава и температуры электролита, массы дозы. Тепло на нагрев и растворение глинозем получает из электролита. Концентрация глинозема в электролите на каждом расчетном шаге определяется как соотношение растворенного и потребленного глинозема.

Наработка металла, Выход по току. Наработка металла определяется по закону Фарадея. Выход по току рассчитывается по формуле ИТЦ, основанной на экспериментальных измерениях Тарсу и формуле ВАМИ и определяет приход тепла от обратной реакции. Также с учетом выхода по току определяется виртуально произведенный металл, расход анода, расход глинозема;

Изменение формы рабочего пространства. Определяет изменение толщины настыли и гарнисажа. Скорость плавления настыли определяется как функция разности прихода тепла из электролита и тепла, отводимого через настыли и бортовую футеровку. Этот блок осуществляет расчет изменения температуры футеровки и кожуха (в линейном приближении).

Расчет теплового баланса. Получая значения тока и напряжения электролизера и анода, блок вычисляет приход тепла в электролите. При этом определяются теплообмен: металл – электролит, электролит – гарнисаж, металл – настыль, металл – подина. Приход тепла складывается из тепла подведенной энергии и тепла обратной реакции. Расход тепла складывается из тепловых потерь, расхода тепла на основную реакцию и расхода тепла на нагрев и растворение глинозема. Исходя из разницы прихода и расхода тепла в электролите, определяется изменение температуры электролита. Аналогично для металла;

Баланс масс, состав электролита, перегрев. Блок использует ежесуточные значения уровней электролита и металла и соответственно пересчитывает массы электролита и металла. По имеющимся или прогнозируемым значениям анализа криолитового отношения и CaF₂ определяется избыток фторида алюминия и кальция в процентах и килограммах. Соответственно определяется температура ликвидуса и температура перегрева, плотность и вязкость расплавов. Также в этом блоке работают подпрограммы расчета потерь фторида алюминия, добавки AlF₃, CaF₂ и флотации. Потери фторида алюминия определяются по комплексной методике в зависимости от возраста, состава и температуры электролита. Зависимость потерь от возраста определяется формулой ИТЦ, зависимость потерь от состава и температуры электролита определяется по методике Васюниной.

Управляющие и технологические воздействия. Используются данные ежесуточных значений загруженных на электролизер доз AlF₃, CaF₂ и флотации (ручной ввод технологическим персоналом корпуса электролиза). В установленное виртуальное время в программе имитируется отдача этого сырья в динамическую модель.

 

6. Уравнения математической физики. Уравнение колебаний струны, формулировка краевой задачи.

этими величинами.

7. Уравнение распространения тепла в стержне, вывод. Формулировка краевой задачи.

8. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей.

 

9. Построение фазовых портретов динамических систем: особые точки (седло, узел, фокус, центр), алгоритм построения фазового портрета нелинейной системы. Пример применения (задача о конкурирующих видах, или другое на ваше усмотрение из литературы).

10. Базовые понятие теории вероятностей и математической статистики.

11. Коэффициент корреляции, его основные свойства, формула для расчета по выборке. Оценка статистической значимости.

12. Модель парной регрессии. Задачи построения уравнения регрессии. Модель линейной регрессии.

13. Метод наименьших квадратов.

14. Условия Гаусса-Маркова. Классическая линейная регрессивная модель. Показатели качества уравнения регрессии. Прогноз по уравнению регрессии.

15. Корреляционная матрица, задачи множественного корреляционного анализа. МКК, ЧКК, пример.

16. Множественная регрессия, векторная запись уравнения. Линейная модель множественной регрессии. Уравнение регрессии в стандартизированной форме. Показатели качества уравнения множественной регрессии. Проблема мультиколлинеарности. Диаграммы Венна.

17. Функционал качества. Поиск оптимального решения. (этот вопрос я кажется вам не рассказывала, но презентацию приложила, попробуйте приготовить самостоятельно)