По этому вопросу кроме этой мини теремки вообще ответов нет, в инетике тоже не нашлось, вообщем будем надеяться, что он никому не попадется

 

48. Какой вектор называется проекцией вектора на подпространство евклидова пространства?

Пусть R – евклидово пространство и у – произвольный вектор R, а R’ – некоторое подпространство R. если у = х + h, где вектор х принадлежит R’, а вектор h ортогонален к этому подпространству. Вектор х – называется проекцией вектора у на подпространство R’.

49. Какой вектор называется перпендикуляром к проекции вектора на подпространство евклидова пространства?

Пусть R – евклидово пространство и у – произвольный вектор R, а R’ – некоторое подпространство R. если у = х + h, где вектор х принадлежит R’, а вектор h ортогонален к этому подпространству. Вектор х – называется проекцией вектора у на подпространство R’, а вектор h – перпендикуляром к вектору х (перпендикуляром к проекции вектора у на подпространство R’).

50. В чём суть метода наименьших квадратов?

Даны n экспериментальных значений, нужно выявить линейную зависимость. Для этого нужно, чтобы среднее квадратичное расстояние между теоретическими значениями и экспериментальными Р2=∑(y(xi) - yi)2 было минимальным по сравнению с другими. Ф(а, b) =∑(yi – F(xi, a,b))2. Далее находим частные производные функции Ф по а и по b, приравниваем к нулю, получаем систему уравнений с двумя неизвестными, решаем ее, находим коэффициенты, получаем линейную зависимость у = ах + b.

 

51. Какая функция называется билинейной (или билинейной формой)?

Числовая функция А(х, у) от двух векторных аргументов х и у в линейном пространстве R называется билинейной функцией или билинейной формой, если она является линейной функцией от x при каждом фиксированном значении y и линейной функцией от y при каждом фиксированном значении x. Можно показать, что любая билинейная форма в n-мерном линейном пространстве имеет вид A(x,y)=∑∑(aikxiyk), где aik – фиксированные числа.

 

52. Какая матрица называется матрицей билинейной формы в линейном пространстве?

Любая билинейная форма в n-мерном линейном пространстве имеет вид A(x,y)=∑∑(a_ikx_iy_k), где a_ik – фиксированные числа. Коэффициенты a_ik образуют матрицу

Которую называют матрицей билинейной формы А(х, у) в базисе е₁, …, e_n.

 

53. Какое равенство должно выполняться для того, чтобы билинейная форма являлась симметричной?

Билинейная форма A(x,y) называется симметричной, если для любых векторов x и y выполняется равенство A(x,y) = A(y,x).

Если билинейная форма A(x,y) симметрична, то ее матрица в любом базисе пространства R тоже симметрична. Справедливо и обратное утверждение.

54. Что называется квадратичной формой в линейном пространстве?

Квадратичной формой в линейном пространстве R называется функция A(x,x) от одного векторного аргумента x ∈ R, которая получается из билинейной формы A(x,y) заменой y на x.

Другими словами, выражение вида

Φ(x1,x2,..,xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn+a22x22+ 2a23x2x3+…+ 2a2nx2xn+

+…++annxn2,

содержащее только квадраты координат x1,…, xn и все их попарные произведения, называют квадратичной формой n координат x1,…, xn, а числа aik– коэффициентами квадратичной формы.

55. Какую последовательность действий необходимо произвести для приведения квадратичной формы к диагональному виду?

По квадратичной форме построить симметричную матрицу А.

2. Составить характеристическое уравнение det(А − λЕ) = 0 и найти его корни (имеется n вещественных корней, которые будем считать различными).

3. Зная корни характеристического уравнения, написать квадратичную форму в диагональном (каноническом) виде.

4. Подставить собственное значение λ1 в систему и, пользуясь правилами решения однородных систем линейных уравнений, найти решение полученной системы (если корни раз-

личны, то оно будет определено с точностью до произвольного множителя) и написать разложение первого собственного вектора по старому базису.

5. Проделать указанные в п. 4 операции с остальными собственными числами.

6. Пронормировать каждый из собственных векторов, разделив на его длину.

7. Написать матрицу поворота координатной системы, используя результаты вычислений п. 6.

8. Написать формулы перехода от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы, полученной в п. 7

56. По какой формуле осуществляется переход от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы?

Пусть имеем векторы нового базиса: е1’(e11,e12), e2’(e21,e22). Матрица поворота при этом имеет вид:

А формулы преобразования координат можно записать в виде:

57. Как привести квадратичную форму к каноническому виду?

По квадратичной форме построить симметричную матрицу А.

1) Составить характеристическое уравнение det(А − λЕ) = 0 и найти его корни (имеется n вещественных корней, которые будем считать различными).

2) Зная корни характеристического уравнения, написать квадратичную форму в диагональном (каноническом) виде.

3) Подставить собственное значение λ1 в систему и, пользуясь правилами решения однородных систем линейных уравнений, найти решение полученной системы (если корни раз-

4) личны, то оно будет определено с точностью до произвольного множителя) и написать разложение первого собственного вектора по старому базису.

5)

6) Проделать указанные в п. 4 операции с остальными собственными числами.

7) Пронормировать каждый из собственных векторов, разделив на его длину.

8) Написать матрицу поворота координатной системы, используя результаты вычислений п. 6.

9) Написать формулы перехода от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы, полученной в п. 7

10)

 

58. Всегда ли имеет решение задача приведения к каноническому виду двух квадратичных форм, заданных в n‑мерном пространстве?

Задача приведения двух квадратичных форм В(x, x) и А(x, x) к каноническому (диагональному) виду не всегда имеет решение. Если же допустить, что одна из этих форм, например В(x, x), положительно определенная, то поставленная задача имеет решение.

Для того чтобы в этом убедиться обозначим через B(x, y), симметричную билинейную форму, соответствующую квадратичной форме B(x, x), и в пространстве R евклидову метрику, положив (x, y) = B(x, y).

Так как квадратичная форма B(x, x) симметричная и положительно определенная, то аксиомы скалярного произведения выполняются. Ранее было показано, что существует ортонормированный базис (относительно введенной нами метрики), в котором квадратичная форма принимает вид где x1,x2,…,xn – координаты вектора Х в построенном базисе.

В этом же базисе квадратичная форма В(х,х) имеет вид: В(х,х)=х12+х22+…+хn2, а это значит, что базис, в котором обе квадратичные формы A(x,x) и B(x,x) имею канонический вид, существует.

 

59. Применение квадратичных форм при анализе малых колебаний механических систем?

Из курса «Теоретическая механика» известно, что положение механической системы с n степенями свободы задается с помощью n обобщенных координат q1, q2, …, qn.

T –кинетическая энергия системы, П – потенциальная энергия системы.

где - обобщенные скорости, - коэффициенты, зависящие от координат q1, q2, …, qn.

координаты q1, q2, …, qn.

Так как обе квадратичные формы Π и Т являются положительно определенными, то существует линейное преобразование координат q1, q2, …, qn в координаты p1, p2, …, pn

Формулы (i = 1,2,…,n) приводят квадратичные формы П и Т к виду

В обобщенных координатах p1, p2, …, pn уравнения Лагранжа примут вид

(i = 1,2,…,n),

решения которых могут быть записаны в виде

,

где константы Ai и ti определяются из начальных условий. Величины ωi называются собственными частотами системы. Следовательно, каждая из координат pi совершает гармонические колебания с собственной частотой ωi.

60. Что называется метрическим пространством?

Метрическим пространством называется всякое множество Х элементов произвольной природы вместе с однозначной, неотрицательной, действительной функцией p(x, y), определенной для любых элементов x и y из X, удовлетворяющих следующим трем условиям:

1. p (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;

2. p (x, y) = p (y, x) аксиома симметрии;

3. для любых трех элементов x, y, z выполняется неравенство

p (x, y) ≤ p (x, z) + p (z, y) аксиома треугольника.

Определение: Элементы x и y метрического пространства Х называют точками, функцию p(x,y) – расстоянием между точками x и y, а само метрическое пространство, т.е. пару Х, p, обозначают одной буквой R=(X,p)

61. Приведите примеры метрических пространств?

Множество действительных чисел с расстоянием p(x,y)=|x-y| образует метрическое пространство R′.

Множество возможных наборов из n упорядоченных чисел вида (x1,x2,…,xn), (y1,y2,…,yn), принимаемых за точки x=(x1,x2,…,xn), y= (y1,y2,…,yn) расстояния между которыми определяется равенством: , называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством Rn.

Множество, точками которого являются всевозможные последовательности x=(x1,x2,…,xn, …) вещественных чисел, удовлетворяющие условию: а расстояние определяется равенством , является метрическим пространством, которое обозначают l2.

Множество всех непрерывных действительных функций, определенных на промежутке [a,b], причем расстояние для любых двух элементов x(t), y(t) определено по формуле: , т.е. в этом случае расстояние есть максимальное отклонение одной функции от другой. Это метрическое пространство обозначают символом C[a,b].

62. Что называется замкнутым шаром метрического пространства?

Пусть означает некоторую точку метрического пространства x0, а r – положительное число.

Определение. Совокупность точек x пространства R, удовлетворяющих неравенству называется замкнутым шаром и обозначается символом

Точка x0 называется центром этого шара, а число r – радиусом шара.

63. Что называется открытым шаром метрического пространства?

Совокупность точек x пространства R, удовлетворяющих неравенству называется открытым шаром и обозначается символом

Открытый шар радиуса ε с центром в точку x0 называют ε-окретсностью точки x0 и обозначают

64. Что называется предельной точкой множества метрического пространства?

Точка x ∈ R называется предельной точкой множества M ⊂ R, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из M.

65. Что называется изолированной точкой множества метрического пространства?

Точка х, принадлежащая называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малое ее окрестности нет точек из М, отличных от х.

66. Сформулируйте необходимое и достаточное условие для точки прикосновения множества метрического пространства.

Точка x∈ R называется точкой прикосновения множества M ⊂ R, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из M.

Последовательность {xn} сходится к точке х, если

Теорема. Для того чтобы точка x была точкой прикосновения множества M, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {xn} точек из M, сходящаяся к x.

67. При каком условии множество метрического пространства является замкнутым?

Совокупность всех точек прикосновения множества M называется замыканием этого множества и обозначается символом [M].

68. При каком условии последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной?

Последовательность {x_n} точек метрического пространства R называется фундаментальной, если для любого ε>0 существует такое число Nε, что для всех n>N выполняется неравенство

Нетрудно заметить, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Однако обратное утверждение верно не во всяком метрическом пространстве.

69. Какое метрическое пространство называется полным?

Если в метрическом пространстве R любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Например, евклидовы пространства R′, Rn, а также пространство C[a,b] являются полными.

70. Какое отображение называется сжимающим?

Отображение A метрического пространства R в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число α < 1, что для любых двух точек x и y пространства R выполняется неравенство .

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если выполняется равенство Ax = x.

 

71. В чём сущность принципа сжимающих отображений?

Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число , что для любых двух точек и пространства выполняется неравенство

Точка называется неподвижной точкой отображения , если выполняется равенство

Можно показать, что имеет место следующее утверждение.

Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.

72. В чём сущность метода итераций (метода последовательных приближений)?

 

Принцип сжимающих отображений(прошлый вопрос) можно использовать для доказательства существования и единственности решений для уравнений различных типов. Следует отметить, что принцип сжимающих отображений позволяет не только доказать существование и единственность решения, но и дает метод нахождения приближенного решения. Этот метод называют методом итераций или методом последовательных приближений.

Рассмотрим применение этого метода к отысканию приближенного решения уравнения

(9.1)

где функция определена на промежутке и удовлетворяет условию Липшица

(9.2)

с константой и отображает промежуток в себя.

В этом случае есть сжимающее отображение и, согласно сформулированной выше теореме последовательность чисел

сходится к единственному корню уравнения (9.1).

Если функция имеет на промежутке производную и при этом выполняется неравенство

(9.3)

где – некоторая постоянная, то легко видеть, что условие сжатости (9.2) выполнено.

 

73. Нормированное пространство. Предел последовательности.

Рассмотрим в нормирован­ном пространстве последовательность элементов .

Определение. Элемент называется пределом последовательности , если при . Если есть предел , то будем писать
или при и говорить, что последовательность сходится к или просто сходится. Назовем окрестностью точки любой открытый шар .

74. Нормированное пространство. Неравенства Гельдера и Минковского для сумм.