Преобразование Фурье

Пусть функция f(x) задана на действительной оси, удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема. Имеет место интегральная формула Фурье

f (x)= (4.1)

Для точек разрыва f (x) в (4.1) заменяется на . Перепишем (4.1) в комплексной записи:

f (x)= (4.2)

Функцию

(4.3)

называют трансформантой (преобразованием Фурье) функции f (). Вместо здесь можно писать x. Подставим (4.3) в (4.2), получим формулу

f (x)= , (4.4)

которая, даёт обратное преобразование Фурье или восстановление оригинала по трансформанте, справедливое при любом .

Пусть теперь имеются две функции f (x) и g (x), преобразование Фурье которых и . Рассмотрим интеграл

. (4.5)

Он называется свёрткой этих функций и обозначается f . Осуществим обратное преобразование (см. (4.4)) этого интеграла для функции g (x - :

;

Это показывает, что произведение (^*) является преобразованием Фурье от свёртки.

Отметим частные случаи преобразования Фурье, когда исходная функция задаётся на положительной части вещественной оси. В этом случае вводятся косинус - и синус -преобразования Фурье:

, f (x)= , (4.5’)

, . (4.5’’)

Преобразование Фурье распространяется на случай многих переменных. Пусть функция f ( классу функций, суммируемых во всём пространстве. Тогда n-мерным преобразованием Фурье называется интеграл

.